Номер 90, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 90, страница 418.

Условие.

90 a) $ \sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5} = \sqrt[3]{30-x} $;

б) $ \sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{2x+4} = \sqrt[3]{31-2x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано иррациональное уравнение:

$\sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5} = \sqrt[3]{30-x}$

Для решения возведем обе части уравнения в куб, используя формулу суммы кубов $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{x-2}$ и $b = \sqrt[3]{x+5}$. Тогда, согласно исходному уравнению, $a+b = \sqrt[3]{30-x}$.

Возводим в куб:

$(\sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5})^3 = (\sqrt[3]{30-x})^3$

$(x-2) + (x+5) + 3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)}(\sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5}) = 30-x$

Заменим сумму корней в скобках на правую часть исходного уравнения:

$2x+3 + 3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)}\sqrt[3]{30-x} = 30-x$

Объединим корни и уединим радикал в одной части уравнения:

$3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)(30-x)} = 30-x - (2x+3)$

$3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)(30-x)} = 27-3x$

Разделим обе части на 3:

$\sqrt[3]{(x-2)(x+5)(30-x)} = 9-x$

Чтобы избавиться от оставшегося кубического корня, снова возведем обе части в куб:

$(x-2)(x+5)(30-x) = (9-x)^3$

Раскроем скобки. Слева:

$(x^2+3x-10)(30-x) = 30x^2 - x^3 + 90x - 3x^2 - 300 + 10x = -x^3 + 27x^2 + 100x - 300$

Справа:

$(9-x)^3 = 9^3 - 3 \cdot 9^2 \cdot x + 3 \cdot 9 \cdot x^2 - x^3 = 729 - 243x + 27x^2 - x^3$

Приравняем полученные выражения:

$-x^3 + 27x^2 + 100x - 300 = -x^3 + 27x^2 - 243x + 729$

Сократим одинаковые члены $(-x^3$ и $27x^2$) в обеих частях:

$100x - 300 = -243x + 729$

Решим полученное линейное уравнение:

$100x + 243x = 729 + 300$

$343x = 1029$

$x = \frac{1029}{343} = 3$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{3-2} + \sqrt[3]{3+5} = \sqrt[3]{30-3}$

$\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{27}$

$1 + 2 = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно. Можно также доказать, что этот корень единственный, проанализировав монотонность функции $f(x) = \sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5} - \sqrt[3]{30-x}$. Ее производная $f'(x)$ всегда положительна, следовательно, функция строго возрастает и может иметь не более одного корня.

Ответ: 3.

б)

Дано иррациональное уравнение:

$\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{2x+4} = \sqrt[3]{31-2x}$

Для уравнений такого типа бывает эффективно найти один корень методом подбора, а затем доказать его единственность.

Попробуем подставить целые значения $x$, которые дают под корнями числа, являющиеся точными кубами.

Проверим значение $x=2$:

Левая часть: $\sqrt[3]{2-1} + \sqrt[3]{2 \cdot 2+4} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3$.

Правая часть: $\sqrt[3]{31-2 \cdot 2} = \sqrt[3]{31-4} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Так как $3=3$, значение $x=2$ является корнем данного уравнения.

Докажем, что этот корень является единственным. Для этого рассмотрим функцию:

$f(x) = \sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{2x+4} - \sqrt[3]{31-2x}$

Найдем ее производную, чтобы исследовать функцию на монотонность:

$f'(x) = (\sqrt[3]{x-1})' + (\sqrt[3]{2x+4})' - (\sqrt[3]{31-2x})'$

$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{(2x+4)'}{3\sqrt[3]{(2x+4)^2}} - \frac{(31-2x)'}{3\sqrt[3]{(31-2x)^2}}$

$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+4)^2}} - \frac{-2}{3\sqrt[3]{(31-2x)^2}}$

$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+4)^2}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{(31-2x)^2}}$

Каждое слагаемое в выражении для производной является положительным для всех $x$ из области определения производной, так как знаменатели содержат квадраты выражений. Следовательно, $f'(x) > 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Таким образом, уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного решения.

Поскольку мы уже нашли корень $x=2$, он и является единственным решением.

Ответ: 2.