Номер 63, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 63, страница 416.

Условие.

63 $(2-3x)^2 + (1+4x)^2 = (5x+1)(5x-1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

63

Для решения данного уравнения раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное уравнение:
$(2-3x)^2 + (1+4x)^2 = (5x+1)(5x-1)$

1. В левой части уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(2-3x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot (3x) + (3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2$
$(1+4x)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (4x) + (4x)^2 = 1 + 8x + 16x^2$

2. В правой части уравнения раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(5x+1)(5x-1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$

3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(4 - 12x + 9x^2) + (1 + 8x + 16x^2) = 25x^2 - 1$

4. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 + 16x^2) + (-12x + 8x) + (4 + 1) = 25x^2 - 1$
$25x^2 - 4x + 5 = 25x^2 - 1$

5. Перенесем все члены с переменной в левую часть, а постоянные члены — в правую. Члены $25x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются.
$25x^2 - 25x^2 - 4x = -1 - 5$
$-4x = -6$

6. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-4$:
$x = \frac{-6}{-4}$
$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$