Номер 56, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 56, страница 415.

Условие.

56 Найдите координаты общих точек графиков функции:

а) $y=\sqrt{x+7}$ и $y-x-1=0$;

б) $y=\sqrt{x-4}$ и $y-2x+9=0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы найти координаты общих точек графиков функций $y = \sqrt{x + 7}$ и $y - x - 1 = 0$, необходимо решить систему этих уравнений.

Сначала выразим $y$ из второго уравнения:

$y - x - 1 = 0 \implies y = x + 1$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x + 1 = \sqrt{x + 7}$

Для решения этого иррационального уравнения нужно возвести обе его части в квадрат. Предварительно определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 7 \ge 0$, что означает $x \ge -7$. Во-вторых, правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна, следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, что означает $x \ge -1$. Объединяя эти два условия, получаем, что любой корень уравнения должен удовлетворять неравенству $x \ge -1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(x + 1)^2 = (\sqrt{x + 7})^2$

$x^2 + 2x + 1 = x + 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - x + 1 - 7 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):

• $x_1 = 2$: этот корень удовлетворяет условию, так как $2 \ge -1$.
• $x_2 = -3$: этот корень не удовлетворяет условию, так как $-3 < -1$, поэтому он является посторонним.

Итак, у системы есть единственное решение для $x$: $x = 2$.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в уравнение $y = x + 1$:

$y = 2 + 1 = 3$

Координаты общей точки графиков: $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.

---

б) Чтобы найти координаты общих точек графиков функций $y = \sqrt{x - 4}$ и $y - 2x + 9 = 0$, решим систему этих уравнений.

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y - 2x + 9 = 0 \implies y = 2x - 9$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$2x - 9 = \sqrt{x - 4}$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем: $x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Левая часть уравнения: $2x - 9 \ge 0$, откуда $2x \ge 9$, то есть $x \ge 4.5$. Общее условие для корней: $x \ge 4.5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2x - 9)^2 = (\sqrt{x - 4})^2$

$4x^2 - 36x + 81 = x - 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - 36x - x + 81 + 4 = 0$

$4x^2 - 37x + 85 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 85 = 1369 - 16 \cdot 85 = 1369 - 1360 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

$x_1 = \frac{-(-37) + 3}{2 \cdot 4} = \frac{37 + 3}{8} = \frac{40}{8} = 5$

$x_2 = \frac{-(-37) - 3}{2 \cdot 4} = \frac{37 - 3}{8} = \frac{34}{8} = \frac{17}{4} = 4.25$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 4.5$):

• $x_1 = 5$: этот корень удовлетворяет условию, так как $5 \ge 4.5$.
• $x_2 = 4.25$: этот корень не удовлетворяет условию, так как $4.25 < 4.5$, и является посторонним.

Единственный подходящий корень $x=5$.

Найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $y = 2x - 9$:

$y = 2 \cdot 5 - 9 = 10 - 9 = 1$

Координаты общей точки графиков: $(5; 1)$.

Ответ: $(5; 1)$.