Номер 55, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 55, страница 415.

Условие.

55 a) $y = \sqrt{x^2 - x - 2} + \log_{3+x}(9-x^2)$;

б)

$y = \sqrt{12 - x - x^2} \cdot \log_{3-x}(\pi^2 - x^2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $y = \sqrt{x^2 - x - 2} + \log_{3+x}(9-x^2)$

Для нахождения области определения функции (ОДЗ) необходимо учесть ограничения, накладываемые квадратным корнем и логарифмом. Эти ограничения должны выполняться одновременно, поэтому мы составим и решим систему неравенств.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - x - 2 \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$9 - x^2 > 0$.

3. Основание логарифма должно быть строго положительным:
$3 + x > 0$.

4. Основание логарифма не должно быть равно единице:
$3 + x \ne 1$.

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. Для $x^2 - x - 2 \ge 0$, найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

2. Для $9 - x^2 > 0$, имеем $x^2 < 9$, что эквивалентно $|x| < 3$, то есть $x \in (-3, 3)$.

3. Для $3 + x > 0$, имеем $x > -3$.

4. Для $3 + x \ne 1$, имеем $x \ne -2$.

Теперь найдем пересечение всех полученных множеств решений. Условия $x \in (-3, 3)$ и $x > -3$ вместе дают $x \in (-3, 3)$.
Пересекаем $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$ с $x \in (-3, 3)$.
Пересечение $(-3, 3)$ с $(-\infty, -1]$ дает $(-3, -1]$.
Пересечение $(-3, 3)$ с $[2, +\infty)$ дает $[2, 3)$.
Объединение этих двух множеств: $(-3, -1] \cup [2, 3)$.

Наконец, исключим точку $x = -2$ из этого множества. Так как $-2 \in (-3, -1]$, мы разбиваем этот интервал на два: $(-3, -2) \cup (-2, -1]$.

Таким образом, область определения функции: $(-3, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, 3)$.

Ответ: $D(y) = (-3, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, 3)$.

б) $y = \sqrt{12 - x - x^2} \cdot \log_{3-x}(\pi^2 - x^2)$

Область определения функции находится из системы неравенств, учитывающей ограничения для квадратного корня и логарифма.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$12 - x - x^2 \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\pi^2 - x^2 > 0$.

3. Основание логарифма должно быть строго положительным:
$3 - x > 0$.

4. Основание логарифма не должно быть равно единице:
$3 - x \ne 1$.

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. Для $12 - x - x^2 \ge 0$, умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 + x - 12 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-4, 3]$.

2. Для $\pi^2 - x^2 > 0$, имеем $x^2 < \pi^2$, что эквивалентно $|x| < \pi$, то есть $x \in (-\pi, \pi)$. (Напомним, что $\pi \approx 3.14$).

3. Для $3 - x > 0$, имеем $x < 3$.

4. Для $3 - x \ne 1$, имеем $x \ne 2$.

Теперь найдем пересечение всех полученных множеств решений.
Пересекаем $x \in [-4, 3]$, $x < 3$ и $x \in (-\pi, \pi)$.
Пересечение $x \in [-4, 3]$ и $x < 3$ дает $x \in [-4, 3)$.
Теперь пересекаем $x \in [-4, 3)$ с $x \in (-\pi, \pi)$.
Поскольку $-4 < -\pi \approx -3.14$ и $3 < \pi \approx 3.14$, пересечением будет интервал $(-\pi, 3)$.

Осталось учесть условие $x \ne 2$. Точка $x=2$ находится внутри интервала $(-\pi, 3)$, поэтому ее необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции: $(-\pi, 2) \cup (2, 3)$.

Ответ: $D(y) = (-\pi, 2) \cup (2, 3)$.