Номер 38, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 38, страница 414.

Условие.

38 a) $y=2-x-|x-2|+2|x|;$

B) $y=5+2x-|x-2|-|x+1|;$

б) $y=2+x-3|2-x|+2|x|;$

г) $y=|x+2|-2|x-1|-x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = 2 - x - |x - 2| + 2|x|$
Для решения раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x < 0$:
$|x| = -x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 - x - (2-x) + 2(-x) = 2 - x - 2 + x - 2x = -2x$.
2. При $0 \le x < 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 - x - (2-x) + 2x = 2 - x - 2 + x + 2x = 2x$.
3. При $x \ge 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = x-2$.
$y = 2 - x - (x-2) + 2x = 2 - x - x + 2 + 2x = 4$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < 0 \\ 2x, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

б) $y = 2 + x - 3|2 - x| + 2|x|$
Учитывая, что $|2-x| = |x-2|$, преобразуем уравнение: $y = 2 + x - 3|x - 2| + 2|x|$.
Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x=2$. Рассматриваем те же три интервала.
1. При $x < 0$:
$|x| = -x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 + x - 3(2-x) + 2(-x) = 2 + x - 6 + 3x - 2x = 2x - 4$.
2. При $0 \le x < 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 + x - 3(2-x) + 2x = 2 + x - 6 + 3x + 2x = 6x - 4$.
3. При $x \ge 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = x-2$.
$y = 2 + x - 3(x-2) + 2x = 2 + x - 3x + 6 + 2x = 8$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} 2x - 4, & \text{если } x < 0 \\ 6x - 4, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ 8, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

в) $y = 5 + 2x - |x - 2| - |x + 1|$
Нули подмодульных выражений: $x-2=0 \implies x=2$ и $x+1=0 \implies x=-1$. Точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x < -1$:
$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ и $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
$y = 5 + 2x - (2-x) - (-x-1) = 5 + 2x - 2 + x + x + 1 = 4x + 4$.
2. При $-1 \le x < 2$:
$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ и $|x+1| = x+1$.
$y = 5 + 2x - (2-x) - (x+1) = 5 + 2x - 2 + x - x - 1 = 2x + 2$.
3. При $x \ge 2$:
$|x-2| = x-2$ и $|x+1| = x+1$.
$y = 5 + 2x - (x-2) - (x+1) = 5 + 2x - x + 2 - x - 1 = 6$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} 4x + 4, & \text{если } x < -1 \\ 2x + 2, & \text{если } -1 \le x < 2 \\ 6, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

г) $y = |x + 2| - 2|x - 1| - x$
Нули подмодульных выражений: $x+2=0 \implies x=-2$ и $x-1=0 \implies x=1$. Точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x < -2$:
$|x+2| = -(x+2) = -x-2$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$y = (-x-2) - 2(1-x) - x = -x - 2 - 2 + 2x - x = -4$.
2. При $-2 \le x < 1$:
$|x+2| = x+2$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$y = (x+2) - 2(1-x) - x = x + 2 - 2 + 2x - x = 2x$.
3. При $x \ge 1$:
$|x+2| = x+2$ и $|x-1| = x-1$.
$y = (x+2) - 2(x-1) - x = x + 2 - 2x + 2 - x = -2x + 4$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} -4, & \text{если } x < -2 \\ 2x, & \text{если } -2 \le x < 1 \\ -2x + 4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$