Номер 41, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 41, страница 414.

Условие.

41 a) $y = \sin x + |\sin x|$

б) $y = -\cos x |\cos x|$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = \sin x + |\sin x|$

Для решения этой задачи необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем, то есть $\sin x$. По определению абсолютной величины: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

1. Рассмотрим случай, когда $\sin x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

2. Рассмотрим случай, когда $\sin x < 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \sin x + (-\sin x) = \sin x - \sin x = 0$.

Таким образом, исходную функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Более подробно, указывая промежутки для переменной $x$:

Ответ: $y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

б) $y = -\cos x |\cos x|$

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

1. Рассмотрим случай, когда $\cos x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = \cos x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = -\cos x \cdot (\cos x) = -\cos^2 x$.

2. Рассмотрим случай, когда $\cos x < 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = -\cos x \cdot (-\cos x) = \cos^2 x$.

Таким образом, исходную функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} -\cos^2 x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ \cos^2 x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Более подробно, указывая промежутки для переменной $x$:

Ответ: $y = \begin{cases} -\cos^2 x, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ \cos^2 x, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.