Номер 13, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 13, страница 411.

Условие.

$13 \frac{\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}{2 \sin\frac{\pi}{6} \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} + \cos(-\pi) - \sin\frac{\pi}{4}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данного примера необходимо последовательно вычислить значения числителя и знаменателя, а затем найти их частное.

Исходное выражение:

$$ \frac{13 \left(\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}{2 \sin\frac{\pi}{6} \tg\frac{\pi}{4} + \cos(-\pi) - \sin\frac{\pi}{4}} $$

1. Вычислим значение выражения в числителе.

Сначала найдем значения тригонометрических функций в скобках: $ \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\frac{3\pi}{2} $.

Функция косинус является четной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому:

$\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

Значение синуса от угла $\frac{3\pi}{2}$ равно -1:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$

Теперь подставим эти значения в выражение в скобках и возведем в квадрат:

$\left(0 - (-1)\right)^2 = (1)^2 = 1$

Наконец, умножим результат на 13:

$13 \cdot 1 = 13$

Таким образом, числитель дроби равен 13.

2. Вычислим значение выражения в знаменателе.

Знаменатель дроби: $2 \sin\frac{\pi}{6} \tg\frac{\pi}{4} + \cos(-\pi) - \sin\frac{\pi}{4}$.

Найдем значения всех тригонометрических функций в знаменателе, используя табличные значения:

• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\tg\frac{\pi}{4} = 1$
• $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$ (так как косинус - четная функция)
• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим найденные значения в выражение для знаменателя:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 + (-1) - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot 1 - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, знаменатель дроби равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Найдем итоговое значение выражения.

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{13}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 13 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{26}{\sqrt{2}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$-\frac{26 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{26\sqrt{2}}{2} = -13\sqrt{2}$

Ответ: $-13\sqrt{2}$.