Страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

177 a) $3 \log_8 (3x + 2) < 2;$

б) $4 \log_{16} (4x + 3) < 3;$

в) $\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}} (1 - 3x) < 2;$

г) $\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}} (2x - 1) > 2;$

д) $\log_{0,5} (3 - 2x) > -\log_{0,5} 3;$

e) $\log_2 (2x - 5) < -\log_2 3.$

а) $3 \log_8 (3x + 2) < 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3x + 2 > 0$

$3x > -2$

$x > -2/3$

2. Решим неравенство. Разделим обе части на 3:

$\log_8 (3x + 2) < 2/3$

Так как основание логарифма $8 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:

$3x + 2 < 8^{2/3}$

Вычислим правую часть: $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

$3x + 2 < 4$

$3x < 2$

$x < 2/3$

3. Объединим решение с ОДЗ. Мы получили систему неравенств:

$\begin{cases} x > -2/3 \\ x < 2/3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $(-2/3, 2/3)$.

Ответ: $x \in (-2/3; 2/3)$.

б) $4 \log_{16} (4x + 3) < 3$

1. ОДЗ:

$4x + 3 > 0$

$4x > -3$

$x > -3/4$

2. Решим неравенство:

$\log_{16} (4x + 3) < 3/4$

Основание $16 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x + 3 < 16^{3/4}$

Вычислим правую часть: $16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.

$4x + 3 < 8$

$4x < 5$

$x < 5/4$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x > -3/4 \\ x < 5/4 \end{cases}$

Решением является интервал $(-3/4, 5/4)$.

Ответ: $x \in (-3/4; 5/4)$.

в) $\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}} (1 - 3x) < 2$

1. ОДЗ:

$1 - 3x > 0$

$1 > 3x$

$x < 1/3$

2. Решим неравенство. Проверим основание $a = \frac{\sqrt{10}}{3}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $\frac{\sqrt{10}}{3} > 1$. Значит, знак неравенства сохраняется.

$1 - 3x < \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2$

$1 - 3x < \frac{10}{9}$

$-3x < \frac{10}{9} - 1$

$-3x < \frac{1}{9}$

При делении на -3 знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\frac{1}{27}$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 1/3 \\ x > -1/27 \end{cases}$

Решением является интервал $(-1/27, 1/3)$.

Ответ: $x \in (-1/27; 1/3)$.

г) $\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}} (2x - 1) > 2$

1. ОДЗ:

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

2. Решим неравенство. Проверим основание $a = \frac{\sqrt{6}}{3}$. Так как $\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3$, то $0 < \frac{\sqrt{6}}{3} < 1$. Значит, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

$2x - 1 < \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2$

$2x - 1 < \frac{6}{9}$

$2x - 1 < \frac{2}{3}$

$2x < \frac{2}{3} + 1$

$2x < \frac{5}{3}$

$x < \frac{5}{6}$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1/2 \\ x < 5/6 \end{cases}$

Решением является интервал $(1/2, 5/6)$.

Ответ: $x \in (1/2; 5/6)$.

д) $\log_{0.5} (3 - 2x) > -\log_{0.5} 3$

1. ОДЗ:

$3 - 2x > 0$

$3 > 2x$

$x < 3/2$

2. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$:

$-\log_{0.5} 3 = \log_{0.5} (3^{-1}) = \log_{0.5} (1/3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.5} (3 - 2x) > \log_{0.5} (1/3)$

Основание $0.5 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$3 - 2x < 1/3$

$-2x < 1/3 - 3$

$-2x < -8/3$

При делении на -2 знак неравенства снова меняется:

$x > 4/3$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 3/2 \\ x > 4/3 \end{cases}$

Решением является интервал $(4/3, 3/2)$.

Ответ: $x \in (4/3; 3/2)$.

е) $\log_2 (2x - 5) < -\log_2 3$

1. ОДЗ:

$2x - 5 > 0$

$2x > 5$

$x > 5/2$

2. Преобразуем правую часть:

$-\log_2 3 = \log_2 (3^{-1}) = \log_2 (1/3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_2 (2x - 5) < \log_2 (1/3)$

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$2x - 5 < 1/3$

$2x < 5 + 1/3$

$2x < 16/3$

$x < 8/3$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 5/2 \\ x < 8/3 \end{cases}$

Сравним дроби: $5/2 = 15/6$ и $8/3 = 16/6$. Таким образом, $15/6 < x < 16/6$.

Решением является интервал $(5/2, 8/3)$.

Ответ: $x \in (5/2; 8/3)$.

178 a) $\log_{0,4}(3,5 - 5x) > 2 \log_{0,4} 0,2 - 1;$

б) $1 + 2 \log_2 0,3 > \log_2(1,5 - 3x).$

а) $\log_{0,4}(3,5 - 5x) > 2\log_{0,4}0,2 - 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3,5 - 5x > 0$

$-5x > -3,5$

$5x < 3,5$

$x < \frac{3,5}{5}$

$x < 0,7$

2. Преобразуем правую часть неравенства, приведя ее к логарифму по основанию 0,4.

Используем свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a a = 1$:

$2\log_{0,4}0,2 - 1 = \log_{0,4}(0,2^2) - \log_{0,4}0,4 = \log_{0,4}0,04 - \log_{0,4}0,4$

Используем свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_{0,4}0,04 - \log_{0,4}0,4 = \log_{0,4}\left(\frac{0,04}{0,4}\right) = \log_{0,4}0,1$

3. Получаем неравенство:

$\log_{0,4}(3,5 - 5x) > \log_{0,4}0,1$

Так как основание логарифма $0,4 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный:

$3,5 - 5x < 0,1$

$-5x < 0,1 - 3,5$

$-5x < -3,4$

$5x > 3,4$

$x > \frac{3,4}{5}$

$x > 0,68$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x < 0,7$):

$\begin{cases} x > 0,68 \\ x < 0,7 \end{cases}$

Следовательно, $0,68 < x < 0,7$.

Ответ: $(0,68; 0,7)$

б) $1 + 2\log_2 0,3 > \log_2(1,5 - 3x)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$1,5 - 3x > 0$

$-3x > -1,5$

$3x < 1,5$

$x < \frac{1,5}{3}$

$x < 0,5$

2. Преобразуем левую часть неравенства к логарифму по основанию 2.

Используем свойства логарифмов $\log_a a = 1$ и $n\log_a b = \log_a b^n$:

$1 + 2\log_2 0,3 = \log_2 2 + \log_2(0,3^2) = \log_2 2 + \log_2 0,09$

Используем свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$:

$\log_2 2 + \log_2 0,09 = \log_2(2 \cdot 0,09) = \log_2 0,18$

3. Получаем неравенство:

$\log_2 0,18 > \log_2(1,5 - 3x)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$0,18 > 1,5 - 3x$

$3x > 1,5 - 0,18$

$3x > 1,32$

$x > \frac{1,32}{3}$

$x > 0,44$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x < 0,5$):

$\begin{cases} x > 0,44 \\ x < 0,5 \end{cases}$

Следовательно, $0,44 < x < 0,5$.

Ответ: $(0,44; 0,5)$

179 а) $log_{0,5}(2-7x) > -2;$

б) $log_2(0,5-3x) < -3.$

a)

Решим логарифмическое неравенство $ \log_{0,5}(2 - 7x) > -2 $.

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 2 - 7x > 0 $

$ -7x > -2 $

Разделим обе части на -7 и сменим знак неравенства на противоположный:

$ x < \frac{2}{7} $

2. Теперь решим основное неравенство. Представим число -2 в виде логарифма с основанием 0,5:

$ -2 = \log_{0,5}((0,5)^{-2}) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{0,5}(2^2) = \log_{0,5}(4) $

Подставим это в исходное неравенство:

$ \log_{0,5}(2 - 7x) > \log_{0,5}(4) $

Основание логарифма $ a = 0,5 $, и так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ 2 - 7x < 4 $

$ -7x < 4 - 2 $

$ -7x < 2 $

Снова разделим на -7 и сменим знак неравенства:

$ x > -\frac{2}{7} $

3. Объединим результат с ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < \frac{2}{7} \\ x > -\frac{2}{7} \end{cases} $

Решением системы является интервал $ (-\frac{2}{7}; \frac{2}{7}) $.

Ответ: $ x \in (-\frac{2}{7}; \frac{2}{7}) $

б)

Решим логарифмическое неравенство $ \log_{2}(0,5 - 3x) < -3 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 0,5 - 3x > 0 $

$ -3x > -0,5 $

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:

$ x < \frac{0,5}{3} $

$ x < \frac{1/2}{3} $

$ x < \frac{1}{6} $

2. Решим основное неравенство. Представим -3 в виде логарифма с основанием 2:

$ -3 = \log_{2}(2^{-3}) = \log_{2}(\frac{1}{8}) $

Подставим это в исходное неравенство:

$ \log_{2}(0,5 - 3x) < \log_{2}(\frac{1}{8}) $

Основание логарифма $ a = 2 $, и так как $ a > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 0,5 - 3x < \frac{1}{8} $

Заменим 0,5 на $ \frac{1}{2} $:

$ \frac{1}{2} - 3x < \frac{1}{8} $

$ -3x < \frac{1}{8} - \frac{1}{2} $

$ -3x < \frac{1}{8} - \frac{4}{8} $

$ -3x < -\frac{3}{8} $

Разделим на -3 и сменим знак неравенства:

$ x > \frac{-3/8}{-3} $

$ x > \frac{1}{8} $

3. Объединим результат с ОДЗ, решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x < \frac{1}{6} \\ x > \frac{1}{8} \end{cases} $

Поскольку $ \frac{1}{8} < \frac{1}{6} $ (или $ 0,125 < 0,166... $), решением системы является интервал $ (\frac{1}{8}; \frac{1}{6}) $.

Ответ: $ x \in (\frac{1}{8}; \frac{1}{6}) $

180 a) $log_{\sqrt{2}} (5^{x+1} - 25^x) \le 4;$

б) $log_{\sqrt{6}} (7^{x+1} - 49^x) \le 2;$

в) $log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1} - 36^x) \ge -2;$

г) $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} (2^{x+2} - 4^x) \ge -2.$

а) $ \log_{\sqrt{2}}(5^{x+1} - 25^x) \leqslant 4 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ 5^{x+1} - 25^x > 0 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^2)^x > 0 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 > 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 5^x $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $.

$ 5t - t^2 > 0 $

$ t(5 - t) > 0 $

Поскольку $ t > 0 $, неравенство выполняется, когда $ 5 - t > 0 $, то есть $ t < 5 $.

Таким образом, $ 0 < t < 5 $. Возвращаемся к исходной переменной:

$ 0 < 5^x < 5 $

$ 5^x < 5^1 $. Так как основание степени $ 5 > 1 $, то $ x < 1 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) $.

2. Решим основное неравенство. Основание логарифма $ \sqrt{2} > 1 $, поэтому при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 5^{x+1} - 25^x \leqslant (\sqrt{2})^4 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 \leqslant (2^{1/2})^4 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 \leqslant 2^2 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 \leqslant 4 $

Снова используем замену $ t = 5^x $:

$ 5t - t^2 \leqslant 4 $

$ t^2 - 5t + 4 \geqslant 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 - 5t + 4 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = 1, t_2 = 4 $.

Парабола $ y = t^2 - 5t + 4 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 4 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 5^x \leqslant 1 \implies 5^x \leqslant 5^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 5^x \geqslant 4 \implies \log_5(5^x) \geqslant \log_5(4) \implies x \geqslant \log_5 4 $.

3. Объединим решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $ x \in (-\infty; 1) $ и $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_5 4; +\infty) $.

Так как $ \log_5 4 < \log_5 5 = 1 $, то промежуток $ [\log_5 4; +\infty) $ пересекается с $ (-\infty; 1) $ по промежутку $ [\log_5 4; 1) $.

Промежуток $ (-\infty; 0] $ полностью входит в ОДЗ.

Итоговое решение: $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_5 4; 1) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_5 4; 1) $.

б) $ \log_{\sqrt{6}}(7^{x+1} - 49^x) \leqslant 2 $

1. ОДЗ: $ 7^{x+1} - 49^x > 0 \implies 7 \cdot 7^x - (7^x)^2 > 0 $.

Пусть $ t = 7^x $, где $ t > 0 $.

$ 7t - t^2 > 0 \implies t(7-t) > 0 \implies 0 < t < 7 $.

$ 0 < 7^x < 7^1 \implies x < 1 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) $.

2. Решение неравенства. Основание $ \sqrt{6} > 1 $, знак не меняется:

$ 7^{x+1} - 49^x \leqslant (\sqrt{6})^2 $

$ 7 \cdot 7^x - (7^x)^2 \leqslant 6 $

С заменой $ t = 7^x $:

$ 7t - t^2 \leqslant 6 \implies t^2 - 7t + 6 \geqslant 0 $.

Корни уравнения $ t^2 - 7t + 6 = 0 $ равны $ t_1 = 1, t_2 = 6 $.

Следовательно, $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 6 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 7^x \leqslant 1 \implies 7^x \leqslant 7^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 7^x \geqslant 6 \implies x \geqslant \log_7 6 $.

3. Объединяем с ОДЗ $ x < 1 $. Так как $ \log_7 6 < \log_7 7 = 1 $, то решение $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_7 6; 1) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_7 6; 1) $.

в) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} - 36^x) \geqslant -2 $

1. ОДЗ: $ 6^{x+1} - 36^x > 0 \implies 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 > 0 $.

Пусть $ t = 6^x $, где $ t > 0 $.

$ 6t - t^2 > 0 \implies t(6-t) > 0 \implies 0 < t < 6 $.

$ 0 < 6^x < 6^1 \implies x < 1 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) $.

2. Решение неравенства. Основание $ \frac{1}{\sqrt{5}} $ находится в интервале $ (0; 1) $, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$ 6^{x+1} - 36^x \leqslant \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} $

$ 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \leqslant (\sqrt{5})^2 $

$ 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \leqslant 5 $

С заменой $ t = 6^x $:

$ 6t - t^2 \leqslant 5 \implies t^2 - 6t + 5 \geqslant 0 $.

Корни уравнения $ t^2 - 6t + 5 = 0 $ равны $ t_1 = 1, t_2 = 5 $.

Следовательно, $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 5 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 6^x \leqslant 1 \implies 6^x \leqslant 6^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 6^x \geqslant 5 \implies x \geqslant \log_6 5 $.

3. Объединяем с ОДЗ $ x < 1 $. Так как $ \log_6 5 < \log_6 6 = 1 $, то решение $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_6 5; 1) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_6 5; 1) $.

г) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}(2^{x+2} - 4^x) \geqslant -2 $

1. ОДЗ: $ 2^{x+2} - 4^x > 0 \implies 2^2 \cdot 2^x - (2^x)^2 > 0 \implies 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 > 0 $.

Пусть $ t = 2^x $, где $ t > 0 $.

$ 4t - t^2 > 0 \implies t(4-t) > 0 \implies 0 < t < 4 $.

$ 0 < 2^x < 4 \implies 2^x < 2^2 \implies x < 2 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 2) $.

2. Решение неравенства. Основание $ \frac{1}{\sqrt{3}} \in (0; 1) $, знак неравенства меняется:

$ 2^{x+2} - 4^x \leqslant \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2} $

$ 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 \leqslant (\sqrt{3})^2 $

$ 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 \leqslant 3 $

С заменой $ t = 2^x $:

$ 4t - t^2 \leqslant 3 \implies t^2 - 4t + 3 \geqslant 0 $.

Корни уравнения $ t^2 - 4t + 3 = 0 $ равны $ t_1 = 1, t_2 = 3 $.

Следовательно, $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 3 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 2^x \leqslant 1 \implies 2^x \leqslant 2^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 2^x \geqslant 3 \implies x \geqslant \log_2 3 $.

3. Объединяем с ОДЗ $ x < 2 $. Так как $ \log_2 3 < \log_2 4 = 2 $, то решение $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_2 3; 2) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_2 3; 2) $.

$181 \log_2 x + \log_2(x + 1) < \log_2(2x + 6).$

Для решения логарифмического неравенства $ \log_{2}x + \log_{2}(x+1) < \log_{2}(2x+6) $ выполним следующие шаги.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Это приводит к системе из трех неравенств:$ \begin{cases} x > 0 \\ x+1 > 0 \\ 2x+6 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:$ \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ 2x > -6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x > -3 \end{cases} $

Пересечением всех трех условий является $x > 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь преобразуем исходное неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ для левой части:$ \log_{2}(x(x+1)) < \log_{2}(2x+6) $

Поскольку основание логарифма $2$ больше $1$, логарифмическая функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это позволяет нам перейти от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, сохраняя знак неравенства:$ x(x+1) < 2x+6 $

Решим полученное квадратное неравенство. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:$ x^2 + x < 2x+6 $$ x^2 + x - 2x - 6 < 0 $$ x^2 - x - 6 < 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Отсюда корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Так как парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями:$ -2 < x < 3 $, то есть $x \in (-2; 3)$.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений (ОДЗ):$ \begin{cases} x \in (-2; 3) \\ x \in (0; +\infty) \end{cases} $

Общее решение, удовлетворяющее обоим условиям, — это интервал $ (0; 3) $.

Ответ: $x \in (0; 3)$.

182 $\frac{1}{2} \log_3 x^2 \ge \frac{1}{3} \log_3 (-x^3).$

Для решения неравенства $ \frac{1}{2} \log_3 x^2 \ge \frac{1}{3} \log_3 (-x^3) $ сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} x^2 > 0 \\ -x^3 > 0 \end{cases} $$ Решим эту систему.
1. Первое неравенство $x^2 > 0$ верно для всех действительных чисел, кроме $x=0$.
2. Второе неравенство $-x^3 > 0$ равносильно неравенству $x^3 < 0$, что верно при $x < 0$.
Пересечение этих двух условий ($x \neq 0$ и $x < 0$) дает нам ОДЗ: $x < 0$.

Преобразование и решение неравенства
Упростим исходное неравенство, используя свойства логарифмов.
Для левой части используем свойство $\log_a (b^{2k}) = 2k \log_a |b|$ для четной степени: $$ \frac{1}{2} \log_3 x^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 |x| = \log_3 |x| $$ Для правой части, представим $-x^3$ как $(-x)^3$. Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x<0$, то $-x>0$. Следовательно, можно вынести нечетную степень 3 из-под знака логарифма: $$ \frac{1}{3} \log_3 (-x^3) = \frac{1}{3} \log_3 ((-x)^3) = \frac{1}{3} \cdot 3 \log_3(-x) = \log_3(-x) $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_3 |x| \ge \log_3 (-x) $$

Основание логарифма $3$ больше 1, поэтому функция $y=\log_3 t$ является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $$ |x| \ge -x $$

Мы решаем это неравенство на ОДЗ, то есть при $x < 0$. Для отрицательных значений $x$ по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это выражение в неравенство: $$ -x \ge -x $$ Это тождество, верное для любых значений $x$. Это означает, что все значения $x$ из области допустимых значений являются решениями исходного неравенства.

Таким образом, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $(-\infty; 0)$.

$183 \log_3(x^3 + x^2 - 2x) - 2\log_9(x^2 - x) < \log_3 5.$

Исходное неравенство: $ \log_{3}(x^3 + x^2 - 2x) - 2\log_{9}(x^2 - x) < \log_{3}5 $.

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому получаем систему неравенств:

$ \begin{cases} x^3 + x^2 - 2x > 0 \\ x^2 - x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$ x^3 + x^2 - 2x > 0 $

$ x(x^2 + x - 2) > 0 $

$ x(x+2)(x-1) > 0 $

Используя метод интервалов, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знаки выражения на каждом интервале:

• При $ x \in (1, +\infty) $: $ x(x+2)(x-1) > 0 $
• При $ x \in (0, 1) $: $ x(x+2)(x-1) < 0 $
• При $ x \in (-2, 0) $: $ x(x+2)(x-1) > 0 $
• При $ x \in (-\infty, -2) $: $ x(x+2)(x-1) < 0 $

Решением первого неравенства является объединение интервалов $ (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Теперь решим второе неравенство:

$ x^2 - x > 0 $

$ x(x-1) > 0 $

Корни этого выражения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Парабола $y = x^2-x$ ветвями вверх, поэтому выражение положительно вне корней. Решением является $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) $.

Найдем пересечение решений обоих неравенств для получения итоговой ОДЗ:

$ ((-2, 0) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)) = (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Теперь преобразуем исходное неравенство, приведя логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу перехода к новому основанию: $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $.

$ 2\log_{9}(x^2 - x) = 2\log_{3^2}(x^2 - x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{3}(x^2 - x) = \log_{3}(x^2 - x) $.

Подставим это в исходное неравенство:

$ \log_{3}(x^3 + x^2 - 2x) - \log_{3}(x^2 - x) < \log_{3}5 $

Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:

$ \log_{3}\left(\frac{x^3 + x^2 - 2x}{x^2 - x}\right) < \log_{3}5 $

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_3 t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для аргументов логарифмов, сохранив знак неравенства:

$ \frac{x^3 + x^2 - 2x}{x^2 - x} < 5 $

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

$ \frac{x(x^2 + x - 2)}{x(x-1)} < 5 $

$ \frac{x(x+2)(x-1)}{x(x-1)} < 5 $

На ОДЗ ($ x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty) $) $x \neq 0$ и $x \neq 1$, поэтому можно сократить дробь на $x$ и $(x-1)$:

$ x + 2 < 5 $

$ x < 3 $

Наконец, найдем пересечение полученного решения $ x < 3 $ с ОДЗ $ x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Пересечение множества $ (-\infty, 3) $ с множеством $ (-2, 0) \cup (1, +\infty) $ дает нам итоговый результат:

$ x \in (-2, 0) \cup (1, 3) $.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, 3)$

$184 \log_{\left(\sqrt{31}-\sqrt{21}\right)}\left(x^2-9\right) \ge 0.$

Решим данное логарифмическое неравенство $log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (x^2 - 9) \ge 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание должно быть больше нуля и не равно единице.
а) Аргумент:
$x^2 - 9 > 0$
$x^2 > 9$
$|x| > 3$
Следовательно, $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.
б) Основание: $a = \sqrt{31} - \sqrt{21}$.
Поскольку $31 > 21$, то $\sqrt{31} > \sqrt{21}$, и $a > 0$.
Проверим, не равно ли основание единице. Сравним $a$ с 1:
$\sqrt{31} - \sqrt{21} \vee 1$
$\sqrt{31} \vee 1 + \sqrt{21}$
Так как обе части положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{31})^2 \vee (1 + \sqrt{21})^2$
$31 \vee 1 + 2\sqrt{21} + 21$
$31 \vee 22 + 2\sqrt{21}$
$9 \vee 2\sqrt{21}$
Снова возведем в квадрат (обе части положительны):
$81 \vee 4 \cdot 21$
$81 \vee 84$
$81 < 84$.
Значит, $\sqrt{31} - \sqrt{21} < 1$.
Таким образом, основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

2. Решение неравенства.
Исходное неравенство:
$log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (x^2 - 9) \ge 0$
Представим 0 как логарифм по тому же основанию: $0 = log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (1)$.
$log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (x^2 - 9) \ge log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})} (1)$
Так как основание логарифма $a = \sqrt{31} - \sqrt{21}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x^2 - 9 \le 1$
$x^2 - 10 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 10 = 0$: $x = \pm\sqrt{10}$.
Решением неравенства $(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \le 0$ является промежуток $x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

3. Пересечение с ОДЗ.
Теперь необходимо найти пересечение найденного решения с областью допустимых значений:
$\begin{cases} x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] \\ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \end{cases}$
Поскольку $9 < 10 < 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.
Таким образом, $-4 < -\sqrt{10} < -3$.
Пересечение множества $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$ с множеством $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$ дает нам два интервала: $[-\sqrt{10}, -3)$ и $(3, \sqrt{10}]$.
Объединение этих интервалов и является окончательным решением.
Ответ: $x \in [-\sqrt{10}, -3) \cup (3, \sqrt{10}]$

Решите неравенство (185–189):

185 a) $ \text{tg } 3x > 0; $ б) $ \text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) < 1; $ в) $ \text{tg} \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \ge \frac{\sqrt{3}}{3}; $

г) $ \text{ctg } 2x \le 0; $ д) $ \text{ctg} \left( 2x - \frac{4\pi}{3} \right) > \sqrt{3}; $ е) $ \text{ctg} \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \ge -1. $

а)

Решим неравенство $\operatorname{tg} 3x > 0$.

Сделаем замену переменной $t = 3x$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t > 0$.

Функция тангенс положительна в I и III координатных четвертях. Решением неравенства $\operatorname{tg} t > 0$ является совокупность интервалов:

$\pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 3x$:

$\pi n < 3x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 1$.

Сделаем замену $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t < 1$.

Область определения тангенса $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Решим уравнение $\operatorname{tg} t = 1$, его решение $t = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $\operatorname{tg} t$ возрастает. Поэтому неравенство $\operatorname{tg} t < 1$ выполняется при $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность, общее решение для $t$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $t = x + \frac{\pi}{4}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Получим $\operatorname{tg} t \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Область определения тангенса $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$. Решение уравнения $\operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ есть $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{tg} t$ возрастает на каждом интервале своей области определения. Поэтому неравенство $\operatorname{tg} t \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется на промежутках, где тангенс определён и его значение больше или равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это соответствует промежуткам $\left[\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{6} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{6} + \pi n \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$\frac{2\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{3\pi+ \pi}{6} + \pi n$.

$\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $\operatorname{ctg} 2x \le 0$.

Сделаем замену $t = 2x$. Получим $\operatorname{ctg} t \le 0$.

Функция котангенс не положительна (т.е. $\le 0$) во II и IV координатных четвертях, включая точки, где $\operatorname{ctg} t = 0$.

$\operatorname{ctg} t = 0$ при $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Область определения котангенса $t \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение неравенства $\operatorname{ctg} t \le 0$ на тригонометрическом круге - это промежуток $[\frac{\pi}{2}, \pi)$ и его сдвиги на $\pi n$.

Таким образом, $\frac{\pi}{2} + \pi n \le t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к $x$:

$\frac{\pi}{2} + \pi n \le 2x < \pi + \pi n$.

Разделим на 2:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $\operatorname{ctg}\left(2x - \frac{4\pi}{3}\right) > \sqrt{3}$.

Пусть $t = 2x - \frac{4\pi}{3}$. Получим $\operatorname{ctg} t > \sqrt{3}$.

Область определения котангенса $t \neq \pi n$. Решение уравнения $\operatorname{ctg} t = \sqrt{3}$ есть $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{ctg} t$ убывает на каждом интервале своей области определения $(\pi n, \pi + \pi n)$.

Следовательно, неравенство $\operatorname{ctg} t > \sqrt{3}$ выполняется, когда $t$ находится между точкой разрыва и точкой, где $\operatorname{ctg} t = \sqrt{3}$.

$\pi n < t < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим $t = 2x - \frac{4\pi}{3}$:

$\pi n < 2x - \frac{4\pi}{3} < \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Прибавим $\frac{4\pi}{3}$ ко всем частям:

$\frac{4\pi}{3} + \pi n < 2x < \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} + \pi n$.

$\frac{4\pi}{3} + \pi n < 2x < \frac{\pi + 8\pi}{6} + \pi n$.

$\frac{4\pi}{3} + \pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + \pi n$.

Разделим на 2:

$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}; \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge -1$.

Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Получим $\operatorname{ctg} t \ge -1$.

Область определения котангенса $t \neq \pi n$. Решение уравнения $\operatorname{ctg} t = -1$ есть $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $\operatorname{ctg} t$ убывающая. Неравенство $\operatorname{ctg} t \ge -1$ выполняется на промежутках, где котангенс определён и его значение больше или равно -1.

Это соответствует промежуткам $(\pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi n < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Вернемся к переменной $x$:

$\pi n < x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x \le \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

186 a) $5 \sin x - \sin 2x > 0;$

б) $5 \cos x + \sin 2x < 0.$

a) $5\sin x - \sin 2x > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$5\sin x - 2\sin x \cos x > 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (5 - 2\cos x) > 0$

Это произведение будет больше нуля, если оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим второй множитель $(5 - 2\cos x)$.

Так как область значений функции косинус $-1 \le \cos x \le 1$, то:

$-2 \le -2\cos x \le 2$

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$5 - 2 \le 5 - 2\cos x \le 5 + 2$

$3 \le 5 - 2\cos x \le 7$

Это означает, что выражение $(5 - 2\cos x)$ всегда положительно при любом значении $x$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства.

$\sin x > 0$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются все углы в I и II координатных четвертях. С учетом периодичности функции синус, общее решение можно записать в виде:

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $5\cos x + \sin 2x < 0$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$5\cos x + 2\sin x \cos x < 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (5 + 2\sin x) < 0$

Это произведение будет меньше нуля, если множители имеют разные знаки. Рассмотрим второй множитель $(5 + 2\sin x)$.

Так как область значений функции синус $-1 \le \sin x \le 1$, то:

$-2 \le 2\sin x \le 2$

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$5 - 2 \le 5 + 2\sin x \le 5 + 2$

$3 \le 5 + 2\sin x \le 7$

Это означает, что выражение $(5 + 2\sin x)$ всегда положительно при любом значении $x$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства.

$\cos x < 0$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются все углы во II и III координатных четвертях. С учетом периодичности функции косинус, общее решение можно записать в виде:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

187 $2 \sin x - 1 \le \sqrt{6 \sin^2 x - 6 \sin x - 12}$.

Для решения неравенства $2 \sin x - 1 \le \sqrt{6 \sin^2 x - 6 \sin x - 12}$ введем замену переменной.

Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$. После замены исходное неравенство принимает следующий вид: $2t - 1 \le \sqrt{6t^2 - 6t - 12}$.

Далее, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого иррационального неравенства. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: $6t^2 - 6t - 12 \ge 0$.

Разделим обе части неравенства на 6 для упрощения: $t^2 - t - 2 \ge 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $t_1 = -1$, $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 - t - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 2 \ge 0$ выполняется при значениях $t$, которые меньше или равны меньшему корню, или больше или равны большему корню. То есть, $t \le -1$ или $t \ge 2$. Таким образом, ОДЗ для переменной $t$ представляет собой объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Теперь необходимо совместить полученное ОДЗ с ограничением на переменную $t$, вытекающим из замены $t = \sin x$. Мы имеем систему из двух условий: 1. $-1 \le t \le 1$ 2. $t \le -1$ или $t \ge 2$

Найдем пересечение этих множеств. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это $t = -1$. Это означает, что если у исходного неравенства и существуют решения, то они могут быть только для тех $x$, при которых $\sin x = -1$.

Проверим, действительно ли $t = -1$ является решением неравенства $2t - 1 \le \sqrt{6t^2 - 6t - 12}$. Подставим $t = -1$ в него: $2(-1) - 1 \le \sqrt{6(-1)^2 - 6(-1) - 12}$ $-2 - 1 \le \sqrt{6(1) + 6 - 12}$ $-3 \le \sqrt{12 - 12}$ $-3 \le \sqrt{0}$ $-3 \le 0$.

Полученное неравенство является верным. Следовательно, единственное возможное значение для $t$ равно $-1$.

На последнем шаге вернемся к исходной переменной $x$, решив уравнение: $\sin x = -1$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия значений: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

188 a) $16 \sin^2 x + \operatorname{ctg}^2 x \le 7$;

б) $16 \sin^2 x + 9 \operatorname{ctg}^2 x \le 15.$

а) $16\sin^2 x + \cot^2 x \le 7$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием существования котангенса: $\sin x \ne 0$, что означает $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество и определение котангенса: $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$16\sin^2 x + \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \le 7$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Учитывая ОДЗ ($\sin x \ne 0$) и свойства синуса ($0 \le \sin^2 x \le 1$), получаем, что для переменной $t$ справедливо условие $0 < t \le 1$.

Неравенство принимает вид:

$16t + \frac{1-t}{t} \le 7$

Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$16t^2 + 1 - t \le 7t$

Перенесем все члены в левую часть:

$16t^2 - 8t + 1 \le 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(4t - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(4t - 1)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(4t - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(4t - 1)^2 = 0$.

$4t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{4}$

Это значение $t = 1/4$ удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sin^2 x = \frac{1}{4}$

Отсюда получаем два случая:

$\sin x = \frac{1}{2}$ или $\sin x = -\frac{1}{2}$

Решения этих уравнений можно объединить в одну серию. Если $\sin x = \pm \frac{1}{2}$, то $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ ($x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $16\sin^2 x + 9\cot^2 x \le 15$

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем неравенство, используя $\cot^2 x = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$:

$16\sin^2 x + 9 \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \le 15$

Сделаем замену $t = \sin^2 x$, где $0 < t \le 1$.

$16t + \frac{9(1-t)}{t} \le 15$

Умножим на $t > 0$:

$16t^2 + 9(1-t) \le 15t$

$16t^2 + 9 - 9t \le 15t$

Перенесем все члены влево:

$16t^2 - 24t + 9 \le 0$

Левая часть также является полным квадратом:

$(4t - 3)^2 \le 0$

Как и в предыдущем пункте, квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при условии равенства нулю:

$(4t - 3)^2 = 0 \implies 4t - 3 = 0 \implies t = \frac{3}{4}$

Это значение удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

Выполняем обратную замену:

$\sin^2 x = \frac{3}{4}$

Отсюда:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этих уравнений можно объединить в одну серию: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

189 a) $\sqrt{6 - 10 \cos x} - \sin x < \sin x - \cos x$, $x \in [-\pi; \pi]$;

б) $\sqrt{6 \cos x - \sin x + 4} < \sin x + \cos x$, $x \in [0; 2\pi]$.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{6 - 10\cos x - \sin x} < \sin x - \cos x$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} g(x) > 0 \\ f(x) \ge 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $ $ \implies $ $ \begin{cases} \sin x - \cos x > 0 & (1) \\ 6 - 10\cos x - \sin x \ge 0 & (2) \\ 6 - 10\cos x - \sin x < (\sin x - \cos x)^2 & (3) \end{cases} $

1. Решим неравенство (1): $\sin x - \cos x > 0$.
$\sin x > \cos x$. На тригонометрической окружности в пределах от $-\pi$ до $\pi$ это соответствует промежутку $x \in (\frac{\pi}{4}, \pi]$.

2. Решим неравенство (3):
$6 - 10\cos x - \sin x < \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x$
$6 - 10\cos x - \sin x < 1 - 2\sin x \cos x$
$5 < 10\cos x + \sin x - 2\sin x \cos x$
$10\cos x + \sin x - 2\sin x \cos x - 5 > 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(10\cos x - 5) + (\sin x - 2\sin x \cos x) > 0$
$5(2\cos x - 1) - \sin x(2\cos x - 1) > 0$
$(5 - \sin x)(2\cos x - 1) > 0$
Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, выражение $5 - \sin x$ всегда положительно. Следовательно, неравенство сводится к:
$2\cos x - 1 > 0 \implies \cos x > \frac{1}{2}$.
На промежутке $[-\pi; \pi]$ решением этого неравенства является $x \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

3. Найдем пересечение решений неравенств (1) и (3):
$x \in (\frac{\pi}{4}, \pi] \cap (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) = (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$.

4. Теперь проверим выполнение условия (2) на найденном интервале $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$:
$6 - 10\cos x - \sin x \ge 0$.
Пусть $f(x) = 6 - 10\cos x - \sin x$. Найдем производную:
$f'(x) = 10\sin x - \cos x$.
На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$ выполняется $\sin x > \cos x > 0$, поэтому $f'(x) = 10\sin x - \cos x > \sin x - \cos x > 0$.
Так как $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ монотонно возрастает на этом интервале.
Найдем значения функции на концах интервала:
$f(\frac{\pi}{4}) = 6 - 10\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4} = 6 - 10\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 - \frac{11\sqrt{2}}{2} = \frac{12-11\sqrt{2}}{2}$. Так как $12^2=144$, а $(11\sqrt{2})^2=242$, то $12 < 11\sqrt{2}$, значит $f(\frac{\pi}{4}) < 0$.
$f(\frac{\pi}{3}) = 6 - 10\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3} = 6 - 10(\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$. Так как $2 > \sqrt{3}$, то $f(\frac{\pi}{3}) > 0$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна, возрастает и меняет знак на интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$, существует единственная точка $x_0 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$, в которой $f(x_0) = 0$. Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется при $x \in [x_0, \frac{\pi}{3})$.

5. Найдем $x_0$ из уравнения $10\cos x_0 + \sin x_0 = 6$.
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой $t = \tan(x_0/2)$.
$10\frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{2t}{1+t^2} = 6$
$10(1-t^2) + 2t = 6(1+t^2)$
$10 - 10t^2 + 2t = 6 + 6t^2$
$16t^2 - 2t - 4 = 0$
$8t^2 - t - 2 = 0$
$t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(8)(-2)}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{16}$.
Так как $x_0 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$, то $x_0/2 \in (\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{6})$, и $\tan(x_0/2)$ должен быть положительным. Выбираем корень $t = \frac{1+\sqrt{65}}{16}$.
Отсюда $x_0 = 2\arctan\left(\frac{1+\sqrt{65}}{16}\right)$.

6. Окончательное решение является пересечением интервалов $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$ и $[x_0, \frac{\pi}{3})$, что дает $(x_0, \frac{\pi}{3})$.

Ответ: $x \in \left(2\arctan\left(\frac{1+\sqrt{65}}{16}\right), \frac{\pi}{3}\right)$.

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{6\cos x - \sin x + 4} < \sin x + \cos x$ на промежутке $x \in [0; 2\pi]$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin x + \cos x > 0 & (1) \\ 6\cos x - \sin x + 4 \ge 0 & (2) \\ 6\cos x - \sin x + 4 < (\sin x + \cos x)^2 & (3) \end{cases} $

1. Решим неравенство (1): $\sin x + \cos x > 0$.
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) > 0 \implies \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) > 0$.
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) > 0$.
На промежутке $x \in [0; 2\pi]$, это соответствует $x+\frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{4}, \pi) \cup (2\pi, \frac{9\pi}{4})$, что дает $x \in [0, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}, 2\pi]$.

2. Решим неравенство (3):
$6\cos x - \sin x + 4 < \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$
$6\cos x - \sin x + 4 < 1 + 2\sin x \cos x$
$0 < -6\cos x + \sin x + 2\sin x \cos x - 3$
$2\sin x \cos x + \sin x - 6\cos x - 3 > 0$
Сгруппируем слагаемые:
$\sin x(2\cos x + 1) - 3(2\cos x + 1) > 0$
$(\sin x - 3)(2\cos x + 1) > 0$
Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, выражение $\sin x - 3$ всегда отрицательно. Следовательно, неравенство сводится к:
$2\cos x + 1 < 0 \implies \cos x < -\frac{1}{2}$.
На промежутке $[0; 2\pi]$ решением этого неравенства является $x \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.

3. Найдем пересечение решений неравенств (1) и (3):
$x \in \left( [0, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}, 2\pi] \right) \cap (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.
Пересечение первого интервала $[0, \frac{3\pi}{4})$ с $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$ дает $(\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$.
Второй интервал $(\frac{7\pi}{4}, 2\pi]$ не пересекается с $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.
Итак, промежуточное решение: $x \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$.

4. Проверим выполнение условия (2) на найденном интервале $x \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$:
$6\cos x - \sin x + 4 \ge 0$.
Пусть $f(x) = 6\cos x - \sin x + 4$. Найдем производную:
$f'(x) = -6\sin x - \cos x = -(6\sin x + \cos x)$.
На интервале $(\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$, $\sin x > 0$, $\cos x < 0$. $\tan x < -1$. Тогда $6\tan x < -6$, $6\tan x+1 < -5$. Так как $\cos x < 0$, то $6\sin x + \cos x = \cos x(6\tan x + 1) > 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ монотонно убывает на этом интервале.
Найдем значения функции на концах интервала:
$f(\frac{2\pi}{3}) = 6\cos\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3} + 4 = 6(-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.
$f(\frac{3\pi}{4}) = 6\cos\frac{3\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{4} + 4 = 6(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 = 4 - \frac{7\sqrt{2}}{2} < 0$.
Так как функция $f(x)$ непрерывна, убывает и меняет знак на интервале $(\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$, существует единственная точка $x_0 \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$, в которой $f(x_0)=0$. Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется при $x \in (\frac{2\pi}{3}, x_0]$.

5. Найдем $x_0$ из уравнения $6\cos x_0 - \sin x_0 + 4 = 0$, или $\sin x_0 - 6\cos x_0 = 4$.
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой $t = \tan(x_0/2)$.
$\frac{2t}{1+t^2} - 6\frac{1-t^2}{1+t^2} = 4$
$2t - 6 + 6t^2 = 4 + 4t^2$
$2t^2 + 2t - 10 = 0$
$t^2 + t - 5 = 0$
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(-5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Так как $x_0 \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$, то $x_0/2 \in (\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{8})$, и $\tan(x_0/2)$ должен быть положительным. Выбираем корень $t = \frac{-1+\sqrt{21}}{2}$.
Отсюда $x_0 = 2\arctan\left(\frac{\sqrt{21}-1}{2}\right)$.

6. Окончательное решение является пересечением интервала $(\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})$ и промежутка $(\frac{2\pi}{3}, x_0]$, что дает $(\frac{2\pi}{3}, x_0]$.

Ответ: $x \in \left(\frac{2\pi}{3}, 2\arctan\left(\frac{\sqrt{21}-1}{2}\right)\right]$.