Номер 179, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 179, страница 425.

Условие.

179 а) $log_{0,5}(2-7x) > -2;$

б) $log_2(0,5-3x) < -3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Решим логарифмическое неравенство $ \log_{0,5}(2 - 7x) > -2 $.

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 2 - 7x > 0 $

$ -7x > -2 $

Разделим обе части на -7 и сменим знак неравенства на противоположный:

$ x < \frac{2}{7} $

2. Теперь решим основное неравенство. Представим число -2 в виде логарифма с основанием 0,5:

$ -2 = \log_{0,5}((0,5)^{-2}) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{0,5}(2^2) = \log_{0,5}(4) $

Подставим это в исходное неравенство:

$ \log_{0,5}(2 - 7x) > \log_{0,5}(4) $

Основание логарифма $ a = 0,5 $, и так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ 2 - 7x < 4 $

$ -7x < 4 - 2 $

$ -7x < 2 $

Снова разделим на -7 и сменим знак неравенства:

$ x > -\frac{2}{7} $

3. Объединим результат с ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < \frac{2}{7} \\ x > -\frac{2}{7} \end{cases} $

Решением системы является интервал $ (-\frac{2}{7}; \frac{2}{7}) $.

Ответ: $ x \in (-\frac{2}{7}; \frac{2}{7}) $

б)

Решим логарифмическое неравенство $ \log_{2}(0,5 - 3x) < -3 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 0,5 - 3x > 0 $

$ -3x > -0,5 $

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:

$ x < \frac{0,5}{3} $

$ x < \frac{1/2}{3} $

$ x < \frac{1}{6} $

2. Решим основное неравенство. Представим -3 в виде логарифма с основанием 2:

$ -3 = \log_{2}(2^{-3}) = \log_{2}(\frac{1}{8}) $

Подставим это в исходное неравенство:

$ \log_{2}(0,5 - 3x) < \log_{2}(\frac{1}{8}) $

Основание логарифма $ a = 2 $, и так как $ a > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 0,5 - 3x < \frac{1}{8} $

Заменим 0,5 на $ \frac{1}{2} $:

$ \frac{1}{2} - 3x < \frac{1}{8} $

$ -3x < \frac{1}{8} - \frac{1}{2} $

$ -3x < \frac{1}{8} - \frac{4}{8} $

$ -3x < -\frac{3}{8} $

Разделим на -3 и сменим знак неравенства:

$ x > \frac{-3/8}{-3} $

$ x > \frac{1}{8} $

3. Объединим результат с ОДЗ, решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x < \frac{1}{6} \\ x > \frac{1}{8} \end{cases} $

Поскольку $ \frac{1}{8} < \frac{1}{6} $ (или $ 0,125 < 0,166... $), решением системы является интервал $ (\frac{1}{8}; \frac{1}{6}) $.

Ответ: $ x \in (\frac{1}{8}; \frac{1}{6}) $