Номер 180, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 180, страница 425.

Условие.

180 a) $log_{\sqrt{2}} (5^{x+1} - 25^x) \le 4;$

б) $log_{\sqrt{6}} (7^{x+1} - 49^x) \le 2;$

в) $log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1} - 36^x) \ge -2;$

г) $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} (2^{x+2} - 4^x) \ge -2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \log_{\sqrt{2}}(5^{x+1} - 25^x) \leqslant 4 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ 5^{x+1} - 25^x > 0 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^2)^x > 0 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 > 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 5^x $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $.

$ 5t - t^2 > 0 $

$ t(5 - t) > 0 $

Поскольку $ t > 0 $, неравенство выполняется, когда $ 5 - t > 0 $, то есть $ t < 5 $.

Таким образом, $ 0 < t < 5 $. Возвращаемся к исходной переменной:

$ 0 < 5^x < 5 $

$ 5^x < 5^1 $. Так как основание степени $ 5 > 1 $, то $ x < 1 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) $.

2. Решим основное неравенство. Основание логарифма $ \sqrt{2} > 1 $, поэтому при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 5^{x+1} - 25^x \leqslant (\sqrt{2})^4 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 \leqslant (2^{1/2})^4 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 \leqslant 2^2 $

$ 5 \cdot 5^x - (5^x)^2 \leqslant 4 $

Снова используем замену $ t = 5^x $:

$ 5t - t^2 \leqslant 4 $

$ t^2 - 5t + 4 \geqslant 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 - 5t + 4 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = 1, t_2 = 4 $.

Парабола $ y = t^2 - 5t + 4 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 4 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 5^x \leqslant 1 \implies 5^x \leqslant 5^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 5^x \geqslant 4 \implies \log_5(5^x) \geqslant \log_5(4) \implies x \geqslant \log_5 4 $.

3. Объединим решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $ x \in (-\infty; 1) $ и $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_5 4; +\infty) $.

Так как $ \log_5 4 < \log_5 5 = 1 $, то промежуток $ [\log_5 4; +\infty) $ пересекается с $ (-\infty; 1) $ по промежутку $ [\log_5 4; 1) $.

Промежуток $ (-\infty; 0] $ полностью входит в ОДЗ.

Итоговое решение: $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_5 4; 1) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_5 4; 1) $.

б) $ \log_{\sqrt{6}}(7^{x+1} - 49^x) \leqslant 2 $

1. ОДЗ: $ 7^{x+1} - 49^x > 0 \implies 7 \cdot 7^x - (7^x)^2 > 0 $.

Пусть $ t = 7^x $, где $ t > 0 $.

$ 7t - t^2 > 0 \implies t(7-t) > 0 \implies 0 < t < 7 $.

$ 0 < 7^x < 7^1 \implies x < 1 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) $.

2. Решение неравенства. Основание $ \sqrt{6} > 1 $, знак не меняется:

$ 7^{x+1} - 49^x \leqslant (\sqrt{6})^2 $

$ 7 \cdot 7^x - (7^x)^2 \leqslant 6 $

С заменой $ t = 7^x $:

$ 7t - t^2 \leqslant 6 \implies t^2 - 7t + 6 \geqslant 0 $.

Корни уравнения $ t^2 - 7t + 6 = 0 $ равны $ t_1 = 1, t_2 = 6 $.

Следовательно, $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 6 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 7^x \leqslant 1 \implies 7^x \leqslant 7^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 7^x \geqslant 6 \implies x \geqslant \log_7 6 $.

3. Объединяем с ОДЗ $ x < 1 $. Так как $ \log_7 6 < \log_7 7 = 1 $, то решение $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_7 6; 1) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_7 6; 1) $.

в) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} - 36^x) \geqslant -2 $

1. ОДЗ: $ 6^{x+1} - 36^x > 0 \implies 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 > 0 $.

Пусть $ t = 6^x $, где $ t > 0 $.

$ 6t - t^2 > 0 \implies t(6-t) > 0 \implies 0 < t < 6 $.

$ 0 < 6^x < 6^1 \implies x < 1 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) $.

2. Решение неравенства. Основание $ \frac{1}{\sqrt{5}} $ находится в интервале $ (0; 1) $, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$ 6^{x+1} - 36^x \leqslant \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} $

$ 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \leqslant (\sqrt{5})^2 $

$ 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \leqslant 5 $

С заменой $ t = 6^x $:

$ 6t - t^2 \leqslant 5 \implies t^2 - 6t + 5 \geqslant 0 $.

Корни уравнения $ t^2 - 6t + 5 = 0 $ равны $ t_1 = 1, t_2 = 5 $.

Следовательно, $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 5 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 6^x \leqslant 1 \implies 6^x \leqslant 6^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 6^x \geqslant 5 \implies x \geqslant \log_6 5 $.

3. Объединяем с ОДЗ $ x < 1 $. Так как $ \log_6 5 < \log_6 6 = 1 $, то решение $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_6 5; 1) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_6 5; 1) $.

г) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}(2^{x+2} - 4^x) \geqslant -2 $

1. ОДЗ: $ 2^{x+2} - 4^x > 0 \implies 2^2 \cdot 2^x - (2^x)^2 > 0 \implies 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 > 0 $.

Пусть $ t = 2^x $, где $ t > 0 $.

$ 4t - t^2 > 0 \implies t(4-t) > 0 \implies 0 < t < 4 $.

$ 0 < 2^x < 4 \implies 2^x < 2^2 \implies x < 2 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 2) $.

2. Решение неравенства. Основание $ \frac{1}{\sqrt{3}} \in (0; 1) $, знак неравенства меняется:

$ 2^{x+2} - 4^x \leqslant \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2} $

$ 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 \leqslant (\sqrt{3})^2 $

$ 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 \leqslant 3 $

С заменой $ t = 2^x $:

$ 4t - t^2 \leqslant 3 \implies t^2 - 4t + 3 \geqslant 0 $.

Корни уравнения $ t^2 - 4t + 3 = 0 $ равны $ t_1 = 1, t_2 = 3 $.

Следовательно, $ t \leqslant 1 $ или $ t \geqslant 3 $.

Возвращаемся к $ x $:

$ 2^x \leqslant 1 \implies 2^x \leqslant 2^0 \implies x \leqslant 0 $.

$ 2^x \geqslant 3 \implies x \geqslant \log_2 3 $.

3. Объединяем с ОДЗ $ x < 2 $. Так как $ \log_2 3 < \log_2 4 = 2 $, то решение $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_2 3; 2) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_2 3; 2) $.