Номер 187, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 187, страница 425.

Условие.

187 $2 \sin x - 1 \le \sqrt{6 \sin^2 x - 6 \sin x - 12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения неравенства $2 \sin x - 1 \le \sqrt{6 \sin^2 x - 6 \sin x - 12}$ введем замену переменной.

Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$. После замены исходное неравенство принимает следующий вид: $2t - 1 \le \sqrt{6t^2 - 6t - 12}$.

Далее, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого иррационального неравенства. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: $6t^2 - 6t - 12 \ge 0$.

Разделим обе части неравенства на 6 для упрощения: $t^2 - t - 2 \ge 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $t_1 = -1$, $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 - t - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 2 \ge 0$ выполняется при значениях $t$, которые меньше или равны меньшему корню, или больше или равны большему корню. То есть, $t \le -1$ или $t \ge 2$. Таким образом, ОДЗ для переменной $t$ представляет собой объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Теперь необходимо совместить полученное ОДЗ с ограничением на переменную $t$, вытекающим из замены $t = \sin x$. Мы имеем систему из двух условий: 1. $-1 \le t \le 1$ 2. $t \le -1$ или $t \ge 2$

Найдем пересечение этих множеств. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это $t = -1$. Это означает, что если у исходного неравенства и существуют решения, то они могут быть только для тех $x$, при которых $\sin x = -1$.

Проверим, действительно ли $t = -1$ является решением неравенства $2t - 1 \le \sqrt{6t^2 - 6t - 12}$. Подставим $t = -1$ в него: $2(-1) - 1 \le \sqrt{6(-1)^2 - 6(-1) - 12}$ $-2 - 1 \le \sqrt{6(1) + 6 - 12}$ $-3 \le \sqrt{12 - 12}$ $-3 \le \sqrt{0}$ $-3 \le 0$.

Полученное неравенство является верным. Следовательно, единственное возможное значение для $t$ равно $-1$.

На последнем шаге вернемся к исходной переменной $x$, решив уравнение: $\sin x = -1$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия значений: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.