Номер 181, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 181, страница 425.

Условие.

$181 \log_2 x + \log_2(x + 1) < \log_2(2x + 6).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения логарифмического неравенства $ \log_{2}x + \log_{2}(x+1) < \log_{2}(2x+6) $ выполним следующие шаги.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Это приводит к системе из трех неравенств:$ \begin{cases} x > 0 \\ x+1 > 0 \\ 2x+6 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:$ \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ 2x > -6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x > -3 \end{cases} $

Пересечением всех трех условий является $x > 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь преобразуем исходное неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ для левой части:$ \log_{2}(x(x+1)) < \log_{2}(2x+6) $

Поскольку основание логарифма $2$ больше $1$, логарифмическая функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это позволяет нам перейти от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, сохраняя знак неравенства:$ x(x+1) < 2x+6 $

Решим полученное квадратное неравенство. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:$ x^2 + x < 2x+6 $$ x^2 + x - 2x - 6 < 0 $$ x^2 - x - 6 < 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Отсюда корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Так как парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями:$ -2 < x < 3 $, то есть $x \in (-2; 3)$.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений (ОДЗ):$ \begin{cases} x \in (-2; 3) \\ x \in (0; +\infty) \end{cases} $

Общее решение, удовлетворяющее обоим условиям, — это интервал $ (0; 3) $.

Ответ: $x \in (0; 3)$.