Номер 177, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 177, страница 425.

Условие.

177 a) $3 \log_8 (3x + 2) < 2;$

б) $4 \log_{16} (4x + 3) < 3;$

в) $\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}} (1 - 3x) < 2;$

г) $\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}} (2x - 1) > 2;$

д) $\log_{0,5} (3 - 2x) > -\log_{0,5} 3;$

e) $\log_2 (2x - 5) < -\log_2 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $3 \log_8 (3x + 2) < 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3x + 2 > 0$

$3x > -2$

$x > -2/3$

2. Решим неравенство. Разделим обе части на 3:

$\log_8 (3x + 2) < 2/3$

Так как основание логарифма $8 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:

$3x + 2 < 8^{2/3}$

Вычислим правую часть: $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

$3x + 2 < 4$

$3x < 2$

$x < 2/3$

3. Объединим решение с ОДЗ. Мы получили систему неравенств:

$\begin{cases} x > -2/3 \\ x < 2/3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $(-2/3, 2/3)$.

Ответ: $x \in (-2/3; 2/3)$.

б) $4 \log_{16} (4x + 3) < 3$

1. ОДЗ:

$4x + 3 > 0$

$4x > -3$

$x > -3/4$

2. Решим неравенство:

$\log_{16} (4x + 3) < 3/4$

Основание $16 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x + 3 < 16^{3/4}$

Вычислим правую часть: $16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.

$4x + 3 < 8$

$4x < 5$

$x < 5/4$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x > -3/4 \\ x < 5/4 \end{cases}$

Решением является интервал $(-3/4, 5/4)$.

Ответ: $x \in (-3/4; 5/4)$.

в) $\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}} (1 - 3x) < 2$

1. ОДЗ:

$1 - 3x > 0$

$1 > 3x$

$x < 1/3$

2. Решим неравенство. Проверим основание $a = \frac{\sqrt{10}}{3}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $\frac{\sqrt{10}}{3} > 1$. Значит, знак неравенства сохраняется.

$1 - 3x < \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2$

$1 - 3x < \frac{10}{9}$

$-3x < \frac{10}{9} - 1$

$-3x < \frac{1}{9}$

При делении на -3 знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\frac{1}{27}$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 1/3 \\ x > -1/27 \end{cases}$

Решением является интервал $(-1/27, 1/3)$.

Ответ: $x \in (-1/27; 1/3)$.

г) $\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}} (2x - 1) > 2$

1. ОДЗ:

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > 1/2$

2. Решим неравенство. Проверим основание $a = \frac{\sqrt{6}}{3}$. Так как $\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3$, то $0 < \frac{\sqrt{6}}{3} < 1$. Значит, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

$2x - 1 < \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2$

$2x - 1 < \frac{6}{9}$

$2x - 1 < \frac{2}{3}$

$2x < \frac{2}{3} + 1$

$2x < \frac{5}{3}$

$x < \frac{5}{6}$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1/2 \\ x < 5/6 \end{cases}$

Решением является интервал $(1/2, 5/6)$.

Ответ: $x \in (1/2; 5/6)$.

д) $\log_{0.5} (3 - 2x) > -\log_{0.5} 3$

1. ОДЗ:

$3 - 2x > 0$

$3 > 2x$

$x < 3/2$

2. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$:

$-\log_{0.5} 3 = \log_{0.5} (3^{-1}) = \log_{0.5} (1/3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.5} (3 - 2x) > \log_{0.5} (1/3)$

Основание $0.5 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$3 - 2x < 1/3$

$-2x < 1/3 - 3$

$-2x < -8/3$

При делении на -2 знак неравенства снова меняется:

$x > 4/3$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 3/2 \\ x > 4/3 \end{cases}$

Решением является интервал $(4/3, 3/2)$.

Ответ: $x \in (4/3; 3/2)$.

е) $\log_2 (2x - 5) < -\log_2 3$

1. ОДЗ:

$2x - 5 > 0$

$2x > 5$

$x > 5/2$

2. Преобразуем правую часть:

$-\log_2 3 = \log_2 (3^{-1}) = \log_2 (1/3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_2 (2x - 5) < \log_2 (1/3)$

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$2x - 5 < 1/3$

$2x < 5 + 1/3$

$2x < 16/3$

$x < 8/3$

3. Объединим с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 5/2 \\ x < 8/3 \end{cases}$

Сравним дроби: $5/2 = 15/6$ и $8/3 = 16/6$. Таким образом, $15/6 < x < 16/6$.

Решением является интервал $(5/2, 8/3)$.

Ответ: $x \in (5/2; 8/3)$.