Номер 176, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 176, страница 424.

Условие.

Решите неравенство (176–184):

176 a) $log_{0,5}(3 - 2x) > -log_{0,5}3;$

б) $log_{2}(2x - 5) < -log_{2}3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Дано неравенство $ \log_{0,5}(3 - 2x) > -\log_{0,5} 3 $.

1. Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 3 - 2x > 0 $

Решаем это неравенство:

$ -2x > -3 $

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$ x < \frac{3}{2} $

Итак, ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1,5) $.

2. Преобразуем правую часть исходного неравенства, используя свойство логарифма $ k \log_a b = \log_a (b^k) $:

$ -\log_{0,5} 3 = \log_{0,5} (3^{-1}) = \log_{0,5} \frac{1}{3} $

Теперь неравенство имеет вид:

$ \log_{0,5}(3 - 2x) > \log_{0,5} \frac{1}{3} $

3. Основание логарифма $ a = 0,5 $. Так как $ 0 < 0,5 < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{0,5} t $ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ 3 - 2x < \frac{1}{3} $

4. Решим полученное линейное неравенство:

$ 3 - \frac{1}{3} < 2x $

$ \frac{8}{3} < 2x $

$ x > \frac{8}{3 \cdot 2} $

$ x > \frac{4}{3} $

5. Наконец, объединим полученное решение с ОДЗ. Мы должны удовлетворить двум условиям одновременно:

$ \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ x > \frac{4}{3} \end{cases} $

Это соответствует интервалу $ \frac{4}{3} < x < \frac{3}{2} $.

Ответ: $ (\frac{4}{3}; \frac{3}{2}) $

б)

Дано неравенство $ \log_2(2x - 5) < -\log_2 3 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 2x - 5 > 0 $

Решаем это неравенство:

$ 2x > 5 $

$ x > \frac{5}{2} $

Итак, ОДЗ: $ x \in (2,5; +\infty) $.

2. Преобразуем правую часть исходного неравенства, используя свойство логарифма $ k \log_a b = \log_a (b^k) $:

$ -\log_2 3 = \log_2 (3^{-1}) = \log_2 \frac{1}{3} $

Теперь неравенство имеет вид:

$ \log_2(2x - 5) < \log_2 \frac{1}{3} $

3. Основание логарифма $ a = 2 $. Так как $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 t $ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 2x - 5 < \frac{1}{3} $

4. Решим полученное линейное неравенство:

$ 2x < 5 + \frac{1}{3} $

$ 2x < \frac{15}{3} + \frac{1}{3} $

$ 2x < \frac{16}{3} $

$ x < \frac{16}{3 \cdot 2} $

$ x < \frac{8}{3} $

5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы должны удовлетворить двум условиям одновременно:

$ \begin{cases} x > \frac{5}{2} \\ x < \frac{8}{3} \end{cases} $

Сравним граничные значения: $ \frac{5}{2} = 2,5 $ и $ \frac{8}{3} \approx 2,67 $. Так как $ 2,5 < \frac{8}{3} $, решение существует.

Это соответствует интервалу $ \frac{5}{2} < x < \frac{8}{3} $.

Ответ: $ (\frac{5}{2}; \frac{8}{3}) $