Номер 170, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 170, страница 424.

Условие.

Решите неравенство (170—175):

170 а) $\sqrt{12x-11} < \sqrt{10x-9}$;

б) $\sqrt{11x-9} < \sqrt{9x-7}$;

в) $\sqrt{10x-7} < \sqrt{9x-5}$;

г) $\sqrt{10x-9} < \sqrt{8x-7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{12x - 11} < \sqrt{10x - 9}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$12x - 11 \ge 0 \implies 12x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{12}$

$10x - 9 \ge 0 \implies 10x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{10}$

Для нахождения ОДЗ нужно, чтобы выполнялись оба условия. Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{9}{10}$. Приведем их к общему знаменателю 60: $\frac{11}{12} = \frac{55}{60}$ и $\frac{9}{10} = \frac{54}{60}$. Поскольку $\frac{55}{60} > \frac{54}{60}$, то $\frac{11}{12} > \frac{9}{10}$. Следовательно, ОДЗ определяется более строгим неравенством: $x \ge \frac{11}{12}$.

2. Решим неравенство. Так как обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{12x - 11})^2 < (\sqrt{10x - 9})^2$

$12x - 11 < 10x - 9$

$12x - 10x < 11 - 9$

$2x < 2$

$x < 1$

3. Найдем пересечение полученного решения $x < 1$ с ОДЗ $x \ge \frac{11}{12}$.

В результате получаем интервал $\frac{11}{12} \le x < 1$.

Ответ: $x \in [\frac{11}{12}, 1)$.

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{11x - 9} < \sqrt{9x - 7}$.

1. Найдем ОДЗ:

$11x - 9 \ge 0 \implies 11x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{11}$

$9x - 7 \ge 0 \implies 9x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{9}$

Сравним дроби $\frac{9}{11}$ и $\frac{7}{9}$. Общий знаменатель 99: $\frac{9}{11} = \frac{81}{99}$ и $\frac{7}{9} = \frac{77}{99}$. Так как $\frac{81}{99} > \frac{77}{99}$, то $\frac{9}{11} > \frac{7}{9}$. ОДЗ: $x \ge \frac{9}{11}$.

2. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(\sqrt{11x - 9})^2 < (\sqrt{9x - 7})^2$

$11x - 9 < 9x - 7$

$2x < 2$

$x < 1$

3. Найдем пересечение решения $x < 1$ с ОДЗ $x \ge \frac{9}{11}$.

Получаем интервал $\frac{9}{11} \le x < 1$.

Ответ: $x \in [\frac{9}{11}, 1)$.

в)

Исходное неравенство: $\sqrt{10x - 7} < \sqrt{9x - 5}$.

1. Найдем ОДЗ:

$10x - 7 \ge 0 \implies 10x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{10}$

$9x - 5 \ge 0 \implies 9x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{9}$

Сравним дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{5}{9}$. Общий знаменатель 90: $\frac{7}{10} = \frac{63}{90}$ и $\frac{5}{9} = \frac{50}{90}$. Так как $\frac{63}{90} > \frac{50}{90}$, то $\frac{7}{10} > \frac{5}{9}$. ОДЗ: $x \ge \frac{7}{10}$.

2. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(\sqrt{10x - 7})^2 < (\sqrt{9x - 5})^2$

$10x - 7 < 9x - 5$

$x < 2$

3. Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x \ge \frac{7}{10}$.

Получаем интервал $\frac{7}{10} \le x < 2$.

Ответ: $x \in [\frac{7}{10}, 2)$.

г)

Исходное неравенство: $\sqrt{10x - 9} < \sqrt{8x - 7}$.

1. Найдем ОДЗ:

$10x - 9 \ge 0 \implies 10x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{10}$

$8x - 7 \ge 0 \implies 8x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{8}$

Сравним дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{7}{8}$. Общий знаменатель 40: $\frac{9}{10} = \frac{36}{40}$ и $\frac{7}{8} = \frac{35}{40}$. Так как $\frac{36}{40} > \frac{35}{40}$, то $\frac{9}{10} > \frac{7}{8}$. ОДЗ: $x \ge \frac{9}{10}$.

2. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(\sqrt{10x - 9})^2 < (\sqrt{8x - 7})^2$

$10x - 9 < 8x - 7$

$2x < 2$

$x < 1$

3. Найдем пересечение решения $x < 1$ с ОДЗ $x \ge \frac{9}{10}$.

Получаем интервал $\frac{9}{10} \le x < 1$.

Ответ: $x \in [\frac{9}{10}, 1)$.