Номер 165, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 165, страница 424.

Условие.

165 а) $\frac{3}{x-2} \ge x$;

б) $x \ge \frac{2}{x-1}$;

В) $\frac{x^2 - 1}{x+5} < 1$;

Г) $\frac{2x-1}{x-3} < x+3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{3}{x-2} \ge x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \ne 0$, откуда $x \ne 2$.
Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$\frac{3}{x-2} - x \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3 - x(x-2)}{x-2} \ge 0$

$\frac{3 - x^2 + 2x}{x-2} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 2x + 3}{x-2} \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x-2} \le 0$

Найдем нули числителя, решив уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Тогда неравенство можно записать в виде:

$\frac{(x+1)(x-3)}{x-2} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($x=-1$, $x=3$) и нуль знаменателя ($x=2$). Нули числителя будут закрашенными точками (так как неравенство нестрогое), а нуль знаменателя — выколотой точкой.

Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -1]$, $[-1; 2)$, $(2; 3]$ и $[3; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$. Интервал подходит.
- при $-1 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(-)} = +$.
- при $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$. Интервал подходит.
- при $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2; 3]$.

б) Решим неравенство $x \ge \frac{2}{x-1}$.

ОДЗ: $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.
Перенесем дробь в левую часть:

$x - \frac{2}{x-1} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x(x-1) - 2}{x-1} \ge 0$

$\frac{x^2 - x - 2}{x-1} \ge 0$

Найдем корни числителя $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Запишем неравенство в виде:

$\frac{(x+1)(x-2)}{x-1} \ge 0$

Применим метод интервалов. Критические точки: $x=-1$ (включая), $x=1$ (исключая), $x=2$ (включая).
Интервалы: $(-\infty; -1]$, $[-1; 1)$, $(1; 2]$, $[2; +\infty)$.
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$.
- при $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(-)} = +$. Интервал подходит.
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$.
- при $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in [-1; 1) \cup [2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2-1}{x+5} < 1$.

ОДЗ: $x+5 \ne 0$, то есть $x \ne -5$.
Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x^2-1}{x+5} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2-1 - (x+5)}{x+5} < 0$

$\frac{x^2 - x - 6}{x+5} < 0$

Найдем корни числителя $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Получаем неравенство:

$\frac{(x+2)(x-3)}{x+5} < 0$

Методом интервалов находим решение. Критические точки $x=-5$, $x=-2$, $x=3$ выколоты, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$, $(-2; 3)$, $(3; +\infty)$.
- при $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$. Интервал подходит.
- при $-5 < x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)( -)}{(+)} = +$.
- при $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$. Интервал подходит.
- при $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.

Объединяем интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{2x-1}{x-3} < x+3$.

ОДЗ: $x-3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
Перенесем выражение из правой части в левую:

$\frac{2x-1}{x-3} - (x+3) < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x-1 - (x+3)(x-3)}{x-3} < 0$

$\frac{2x-1 - (x^2-9)}{x-3} < 0$

$\frac{2x-1 - x^2+9}{x-3} < 0$

$\frac{-x^2 + 2x + 8}{x-3} < 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x^2 - 2x - 8}{x-3} > 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Получаем неравенство:

$\frac{(x+2)(x-4)}{x-3} > 0$

Используем метод интервалов. Критические точки $x=-2$, $x=3$, $x=4$ выколоты.
Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$, $(3; 4)$, $(4; +\infty)$.
- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$.
- при $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(-)} = +$. Интервал подходит.
- при $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$.
- при $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2; 3) \cup (4; +\infty)$.