Номер 160, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 160, страница 423.

Условие.

Решите неравенство (160–169):

160 $\frac{2x+5}{3} - \frac{6x-1}{4} \ge x+1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

160 Исходное неравенство: $ \frac{2x+5}{3} - \frac{6x-1}{4} \ge x+1 $

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 3 и 4, которое равно 12. Так как 12 является положительным числом, знак неравенства не изменится. $ 12 \cdot \left( \frac{2x+5}{3} - \frac{6x-1}{4} \right) \ge 12 \cdot (x+1) $

$ \frac{12(2x+5)}{3} - \frac{12(6x-1)}{4} \ge 12(x+1) $

Сократим дроби: $ 4(2x+5) - 3(6x-1) \ge 12(x+1) $

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью, он меняет знаки в скобках. $ 8x + 20 - 18x + 3 \ge 12x + 12 $

Приведем подобные слагаемые в левой части: $ (8x - 18x) + (20 + 3) \ge 12x + 12 $ $ -10x + 23 \ge 12x + 12 $

Соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $12x$ влево, а 23 вправо, изменив их знаки. $ -10x - 12x \ge 12 - 23 $ $ -22x \ge -11 $

Разделим обе части неравенства на -22. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. $ x \le \frac{-11}{-22} $ $ x \le \frac{1}{2} $

Решение можно записать в виде числового промежутка. Ответ: $x \in (-\infty; 0.5]$