Номер 155, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 155, страница 423.

Условие.

155 $ \arcsin \frac{6x - 7}{2x - 3} = 2\pi - \pi x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данного уравнения необходимо в первую очередь найти область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. ОДЗ определяется двумя условиями, связанными со свойствами функции арксинус.

1. Ограничение на область значений функции арксинус.

Область значений функции $y = \arcsin(z)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, правая часть уравнения должна принадлежать этому отрезку:

$-\frac{\pi}{2} \le 2\pi - \pi x \le \frac{\pi}{2}$

Решим это двойное неравенство. Сначала вычтем $2\pi$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{2} - 2\pi \le -\pi x \le \frac{\pi}{2} - 2\pi$

$-\frac{5\pi}{2} \le -\pi x \le -\frac{3\pi}{2}$

Теперь разделим все части на $-\pi$. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{5}{2} \ge x \ge \frac{3}{2}$

Таким образом, первое условие для $x$ — это принадлежность отрезку $[\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$.

2. Ограничение на область определения функции арксинус.

Область определения функции $y = \arcsin(z)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, аргумент арксинуса в нашем уравнении должен принадлежать этому отрезку:

$-1 \le \frac{6x - 7}{2x - 3} \le 1$

Также необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю: $2x - 3 \ne 0$, что означает $x \ne \frac{3}{2}$.

Двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{6x - 7}{2x - 3} \le 1 \\ \frac{6x - 7}{2x - 3} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{6x - 7}{2x - 3} - 1 \le 0$

$\frac{6x - 7 - (2x - 3)}{2x - 3} \le 0$

$\frac{4x - 4}{2x - 3} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$. Нуль знаменателя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

На числовой оси отмечаем точки 1 (включительно) и 1.5 (исключительно) и определяем знаки выражения на интервалах. Получаем, что неравенство выполняется при $x \in [1, 1.5)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{6x - 7}{2x - 3} + 1 \ge 0$

$\frac{6x - 7 + 2x - 3}{2x - 3} \ge 0$

$\frac{8x - 10}{2x - 3} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $8x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$. Нуль знаменателя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

На числовой оси отмечаем точки 1.25 (включительно) и 1.5 (исключительно). Получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1.25] \cup (1.5, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы неравенств: $x \in [1, 1.5)$ и $x \in (-\infty, 1.25] \cup (1.5, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[1, 1.25]$.

3. Итоговая область допустимых значений (ОДЗ).

Для того чтобы уравнение имело решение, переменная $x$ должна удовлетворять обоим условиям, найденным в пунктах 1 и 2. Найдем пересечение полученных множеств:

$x \in [\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ и $x \in [1, 1.25]$.

В числовом виде: $x \in [1.5, 2.5]$ и $x \in [1, 1.25]$.

Пересечение этих двух множеств является пустым множеством: $[1.5, 2.5] \cap [1, 1.25] = \emptyset$.

Поскольку не существует таких значений $x$, при которых левая и правая части уравнения были бы одновременно определены, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).