Номер 159, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 159, страница 423.

Условие.

159 Найдите больший корень уравнения:

a) $ (\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x + (\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}})^x = 8; $

б) $ (\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}})^x - (\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}})^x = 2; $

в) $ (2\sqrt{3} - 2)^x + 2^{x+1} = 2(\sqrt{3} + 1)^x; $

г) $ 3^x + (\sqrt[3]{\sqrt{10} - 1})^x = 2(\sqrt[3]{\sqrt{10} + 1})^x . $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x + (\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}})^x = 8$

Заметим, что выражения под корнями являются сопряженными. Найдем их произведение:

$(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}}) \cdot (\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}}) = \sqrt[3]{(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15})} = \sqrt[3]{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt[3]{16 - 15} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Это означает, что $\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}}}$.

Сделаем замену. Пусть $t = (\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x$. Тогда $(\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}})^x = \left(\frac{1}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}}}\right)^x = \frac{1}{t}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 8$.

Поскольку $t = (\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x > 0$, можно умножить обе части уравнения на $t$:

$t^2 + 1 = 8t$

$t^2 - 8t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы корней:

$t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$.

Рассмотрим два случая:

1) $t = 4 + \sqrt{15}$. Выполним обратную замену:

$(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x = 4 + \sqrt{15}$

$(4 - \sqrt{15})^{x/3} = 4 + \sqrt{15}$

Так как $4 + \sqrt{15} = \frac{1}{4 - \sqrt{15}} = (4 - \sqrt{15})^{-1}$, получаем:

$(4 - \sqrt{15})^{x/3} = (4 - \sqrt{15})^{-1}$

Приравнивая показатели степеней, находим $x/3 = -1$, откуда $x_1 = -3$.

2) $t = 4 - \sqrt{15}$. Выполним обратную замену:

$(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x = 4 - \sqrt{15}$

$(4 - \sqrt{15})^{x/3} = (4 - \sqrt{15})^{1}$

Приравнивая показатели степеней, находим $x/3 = 1$, откуда $x_2 = 3$.

Корни уравнения: -3 и 3. Наибольший из них равен 3.

Ответ: 3.

б) $(\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}})^x - (\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}})^x = 2$

Основания степеней являются сопряженными. Найдем их произведение:

$(\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}}) = \sqrt[5]{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \sqrt[5]{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt[5]{9 - 8} = \sqrt[5]{1} = 1$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}}}$.

Заметим также, что $3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1+\sqrt{2})^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(\sqrt[5]{(1+\sqrt{2})^2})^x - (\frac{1}{\sqrt[5]{(1+\sqrt{2})^2}})^x = 2$

$((1+\sqrt{2})^{2/5})^x - ((1+\sqrt{2})^{-2/5})^x = 2$

$(1+\sqrt{2})^{2x/5} - (1+\sqrt{2})^{-2x/5} = 2$

Сделаем замену $y = (1+\sqrt{2})^{2x/5}$. Поскольку основание $1+\sqrt{2} > 0$, то $y>0$.

$y - \frac{1}{y} = 2$

$y^2 - 1 = 2y$

$y^2 - 2y - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Так как $y > 0$, выбираем корень $y = 1 + \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$(1+\sqrt{2})^{2x/5} = 1 + \sqrt{2}$

$(1+\sqrt{2})^{2x/5} = (1+\sqrt{2})^{1}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{2x}{5} = 1 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.

Так как функция $f(x) = a^x - a^{-x}$ (где $a > 1$) является строго возрастающей, уравнение $f(x)=const$ имеет не более одного корня. Следовательно, найденный корень является единственным и, соответственно, наибольшим.

Ответ: 2.5.

в) $(2\sqrt{3} - 2)^x + 2^{x+1} = 2(\sqrt{3} + 1)^x$

Преобразуем уравнение:

$(2(\sqrt{3} - 1))^x + 2 \cdot 2^x = 2(\sqrt{3} + 1)^x$

$2^x (\sqrt{3} - 1)^x + 2 \cdot 2^x = 2(\sqrt{3} + 1)^x$

Разделим обе части уравнения на $2(\sqrt{3} + 1)^x$, что не равно нулю ни при каком $x$.

$\frac{2^x (\sqrt{3} - 1)^x}{2(\sqrt{3} + 1)^x} + \frac{2 \cdot 2^x}{2(\sqrt{3} + 1)^x} = 1$

$\frac{1}{2}\left(\frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}\right)^x + \left(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\right)^x = 1$

Упростим основания степеней:

$\frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = (\sqrt{3}-1)^2$.

$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{1}{2}\left((\sqrt{3}-1)^2\right)^x + (\sqrt{3}-1)^x = 1$

$\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)^{2x} + (\sqrt{3}-1)^x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = (\sqrt{3}-1)^x$. Так как $\sqrt{3}-1 > 0$, то $y > 0$.

$\frac{1}{2}y^2 + y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Поскольку $y>0$, подходит только корень $y = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3}-1$.

Возвращаемся к замене:

$(\sqrt{3}-1)^x = \sqrt{3}-1$

$x = 1$.

Это единственный корень уравнения, значит он и является наибольшим.

Ответ: 1.

г) $3^x + (3\sqrt{\sqrt{10}-1})^x = 2(\sqrt{\sqrt{10}+1})^x$

Преобразуем уравнение, раскрыв скобки:

$3^x + 3^x (\sqrt{\sqrt{10}-1})^x = 2(\sqrt{\sqrt{10}+1})^x$

$3^x + 3^x (\sqrt{10}-1)^{x/2} = 2(\sqrt{10}+1)^{x/2}$

Разделим обе части на $2(\sqrt{10}+1)^{x/2} \neq 0$:

$\frac{3^x}{2(\sqrt{10}+1)^{x/2}} + \frac{3^x (\sqrt{10}-1)^{x/2}}{2(\sqrt{10}+1)^{x/2}} = 1$

Преобразуем каждый член:

Первый член: $\frac{1}{2} \frac{3^x}{(\sqrt{10}+1)^{x/2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{3^2}{\sqrt{10}+1}\right)^{x/2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9(\sqrt{10}-1)}{(\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)}\right)^{x/2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9(\sqrt{10}-1)}{9}\right)^{x/2} = \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^{x/2}$.

Второй член: $\frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}\right)^{x/2} = \frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{(\sqrt{10}-1)^2}{10-1}\right)^{x/2} = \frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{(\sqrt{10}-1)^2}{9}\right)^{x/2} = \frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)^x = \frac{1}{2}\left(3\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)^x = \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^{x/2} + \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^x = 1$

$(\sqrt{10}-1)^{x/2} + (\sqrt{10}-1)^x = 2$

Сделаем замену $y = (\sqrt{10}-1)^{x/2}$. Так как $\sqrt{10}-1>0$, то $y>0$.

$y + y^2 = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить разложением на множители: $(y+2)(y-1)=0$.

Корни: $y_1 = -2$, $y_2 = 1$.

Учитывая условие $y > 0$, подходит только $y = 1$.

Выполним обратную замену:

$(\sqrt{10}-1)^{x/2} = 1$.

Так как основание степени $\sqrt{10}-1 \neq 1$, равенство возможно только если показатель степени равен нулю:

$x/2 = 0 \implies x = 0$.

Это единственный корень, поэтому он является наибольшим.

Ответ: 0.