Номер 163, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 163, страница 424.

Условие.

163 $\frac{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{(x + 4)(3 - x)(2x + 1)} > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данного дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Исходное неравенство:

$$ \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(3-x)(2x+1)} > 0 $$

Сначала приведем неравенство к стандартному виду, чтобы все множители с переменной $x$ имели вид $(x-a)$ с положительным коэффициентом при $x$. Для этого преобразуем множители $(3-x)$ и $(2x+1)$ в знаменателе.

В множителе $(3-x)$ вынесем $-1$ за скобку: $3-x = -(x-3)$.

В множителе $(2x+1)$ вынесем $2$ за скобку: $2x+1 = 2(x+0.5)$.

Подставив это в исходное неравенство, получим:

$$ \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(-(x-3))2(x+0.5)} > 0 $$

Вынесем числовые множители и знак "минус" за дробь:

$$ -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(x-3)(x+0.5)} > 0 $$

Умножим обе части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$ \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(x-3)(x+0.5)} < 0 $$

Теперь найдем точки, в которых левая часть неравенства равна нулю или не существует. Эти точки являются корнями числителя и знаменателя.

Корни числителя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$; $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

Корни знаменателя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$; $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+0.5=0 \Rightarrow x=-0.5$.

Нанесем эти точки на числовую ось в порядке возрастания: $-4, -3, -2, -1, -0.5, 3$. Поскольку неравенство строгое ($<0$), все точки будут выколотыми (не включаются в множество решений).

Эти точки разбивают числовую ось на семь интервалов. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3, +\infty)$, взяв пробное значение, например, $x=10$. Все множители в дроби будут положительными, значит, и вся дробь положительна. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться.

Двигаясь справа налево, расставляем знаки: $(3; +\infty) \rightarrow +$; $(-0.5; 3) \rightarrow -$; $(-1; -0.5) \rightarrow +$; $(-2; -1) \rightarrow -$; $(-3; -2) \rightarrow +$; $(-4; -3) \rightarrow -$; $(-\infty; -4) \rightarrow +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть те, над которыми стоит знак "–".

Это интервалы: $(-4; -3)$, $(-2; -1)$ и $(-0.5; 3)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (-2; -1) \cup (-0.5; 3)$