Номер 168, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 168, страница 424.

Условие.

168 a) $\frac{1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \le 0$

б) $\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \ge 0$

в) $\frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \le 0$

г) $\frac{1 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \ge 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\frac{1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это означает, что $x \neq 0$ (так как $x$ находится в знаменателе внутренних дробей) и $1 + \frac{1}{x} \neq 0$. Решим второе условие: $1 + \frac{1}{x} \neq 0 \implies \frac{1}{x} \neq -1 \implies x \neq -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Далее упростим выражение в левой части неравенства. Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $x$: $\frac{\frac{x}{x} - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-3}{x}}{\frac{x+1}{x}}$. При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$: $\frac{x-3}{x+1}$.

Теперь решаем неравенство $\frac{x-3}{x+1} \le 0$ методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя: $x-3=0 \implies x=3$. $x+1=0 \implies x=-1$.

Наносим точки $-1$ и $3$ на числовую ось. Точка $x=3$ будет закрашенной (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю). Определяем знаки выражения $\frac{x-3}{x+1}$ в получившихся интервалах:

• При $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$: $\frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5} > 0$.
• При $x \in (-1; 3)$, например $x=1$: $\frac{1-3}{1+1} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$.
• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2-3}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$.

Решением неравенства $\frac{x-3}{x+1} \le 0$ является интервал $(-1; 3]$. Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \neq 0$. Точка $x=0$ входит в полученный интервал, поэтому мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; 3]$.

б)

Решим неравенство $\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \ge 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $1 + \frac{3}{x} \neq 0 \implies \frac{3}{x} \neq -1 \implies x \neq -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим левую часть: $\frac{\frac{x+2}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \frac{x+2}{x+3}$.

Решаем неравенство $\frac{x+2}{x+3} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$. $x+3=0 \implies x=-3$.

Наносим точки на числовую ось: $x=-2$ (закрашенная), $x=-3$ (выколотая). Определяем знаки выражения в интервалах:

• При $x \in (-2; +\infty)$, например $x=0$: $\frac{0+2}{0+3} > 0$.
• При $x \in (-3; -2)$, например $x=-2.5$: $\frac{-2.5+2}{-2.5+3} < 0$.
• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{-4+2}{-4+3} > 0$.

Решением неравенства $\frac{x+2}{x+3} \ge 0$ является объединение интервалов $(-\infty; -3) \cup [-2; +\infty)$. Учитываем ОДЗ: $x \neq 0$. Исключаем эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \le 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $1 + \frac{3}{x} \neq 0 \implies x \neq -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим левую часть: $\frac{\frac{x-4}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \frac{x-4}{x+3}$.

Решаем неравенство $\frac{x-4}{x+3} \le 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$. $x+3=0 \implies x=-3$.

Наносим точки на числовую ось: $x=4$ (закрашенная), $x=-3$ (выколотая). Определяем знаки выражения в интервалах:

• При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{5-4}{5+3} > 0$.
• При $x \in (-3; 4)$, например $x=0$: $\frac{0-4}{0+3} < 0$.
• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{-4-4}{-4+3} > 0$.

Решением неравенства $\frac{x-4}{x+3} \le 0$ является интервал $(-3; 4]$. Учитываем ОДЗ: $x \neq 0$. Исключаем эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; 4]$.

г)

Решим неравенство $\frac{1 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \ge 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $1 - \frac{2}{x} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{2}{x} \implies x \neq 2$. ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим левую часть: $\frac{\frac{x-5}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \frac{x-5}{x-2}$.

Решаем неравенство $\frac{x-5}{x-2} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x-5=0 \implies x=5$. $x-2=0 \implies x=2$.

Наносим точки на числовую ось: $x=5$ (закрашенная), $x=2$ (выколотая). Определяем знаки выражения в интервалах:

• При $x \in (5; +\infty)$, например $x=6$: $\frac{6-5}{6-2} > 0$.
• При $x \in (2; 5)$, например $x=3$: $\frac{3-5}{3-2} < 0$.
• При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=1$: $\frac{1-5}{1-2} > 0$.

Решением неравенства $\frac{x-5}{x-2} \ge 0$ является объединение интервалов $(-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$. Учитываем ОДЗ: $x \neq 0$. Исключаем эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup [5; +\infty)$.