Номер 174, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 174, страница 424.

Условие.

174 a) $\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{-x^2 - 7x - 10} < \sqrt{20 - x - 5};$

б) $\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{-x^2 - x + 2} \geq 1 - \sqrt{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{-x^2 - 7x - 10} < \sqrt{20 - x - 5}$.

Сначала упростим подкоренное выражение в правой части неравенства: $20 - x - 5 = 15 - x$. Неравенство принимает вид:

$\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{-x^2 - 7x - 10} < \sqrt{15 - x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 5x \ge 0 \\ -x^2 - 7x - 10 \ge 0 \\ 15 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x^2 + 5x \ge 0 \implies x(x + 5) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

2. $-x^2 - 7x - 10 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 + 7x + 10 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 7x + 10$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 7x + 10 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5, -2]$.

3. $15 - x \ge 0 \implies x \le 15$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств, чтобы определить ОДЗ:

$( (-\infty, -5] \cup [0, \infty) ) \cap [-5, -2] \cap (-\infty, 15]$

Пересечение первых двух множеств, $(-\infty, -5] \cup [0, \infty)$ и $[-5, -2]$, дает единственную точку $x = -5$.

Эта точка удовлетворяет третьему условию, так как $-5 \le 15$.

Таким образом, ОДЗ неравенства состоит из одного-единственного числа: $x = -5$.

Подставим это значение в исходное неравенство, чтобы проверить, является ли оно решением:

$\sqrt{(-5)^2 + 5(-5)} + \sqrt{-(-5)^2 - 7(-5) - 10} < \sqrt{15 - (-5)}$

$\sqrt{25 - 25} + \sqrt{-25 + 35 - 10} < \sqrt{15 + 5}$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} < \sqrt{20}$

$0 < \sqrt{20}$

Полученное неравенство является верным. Следовательно, значение $x=-5$ является решением.

Ответ: $-5$.

б)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{-x^2 - x + 2} \ge 1 - \sqrt{x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ -x^2 - x + 2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. $-x^2 - x + 2 \ge 0 \implies x^2 + x - 2 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Решением неравенства является отрезок $x \in [-2, 1]$.

3. $x \ge 0$.

Найдем пересечение всех трех множеств:

$( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) ) \cap [-2, 1] \cap [0, \infty)$

Пересечение первых двух множеств, $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ и $[-2, 1]$, дает множество $[-2, -1] \cup \{1\}$.

Теперь пересечем полученное множество с третьим условием $x \ge 0$: $([-2, -1] \cup \{1\}) \cap [0, \infty)$. Интервал $[-2, -1]$ не имеет общих точек с $[0, \infty)$. Остается только точка $x=1$.

Таким образом, ОДЗ состоит из единственного значения $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в исходное неравенство:

$\sqrt{1^2 - 1} + \sqrt{-1^2 - 1 + 2} \ge 1 - \sqrt{1}$

$\sqrt{1 - 1} + \sqrt{-1 - 1 + 2} \ge 1 - 1$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} \ge 0$

$0 \ge 0$

Полученное неравенство является верным. Это означает, что $x=1$ является решением.

Ответ: $1$.