Номер 173, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 173, страница 424.

Условие.

173 a) $\frac{5x - 3}{\sqrt{7x - 4}} < 1;$

б) $\frac{3x - 2}{\sqrt{5x - 2}} < 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{5x - 3}{\sqrt{7x - 4}} < 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$7x - 4 > 0$

$7x > 4$

$x > \frac{4}{7}$

2. Поскольку знаменатель $\sqrt{7x - 4}$ всегда положителен в области ОДЗ, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$5x - 3 < \sqrt{7x - 4}$

3. Решим полученное иррациональное неравенство. Оно равносильно совокупности двух систем:

Первая система (когда левая часть отрицательна, а правая по определению неотрицательна, неравенство выполняется при условии ОДЗ):

$\begin{cases} 5x - 3 < 0 \\ 7x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{3}{5} \\ x > \frac{4}{7} \end{cases}$

Сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Приведем к общему знаменателю 35: $\frac{21}{35}$ и $\frac{20}{35}$. Так как $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, то $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$.

Решением этой системы является интервал $x \in (\frac{4}{7}; \frac{3}{5})$.

Вторая система (когда обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат):

$\begin{cases} 5x - 3 \ge 0 \\ (5x - 3)^2 < (\sqrt{7x - 4})^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{3}{5} \\ 25x^2 - 30x + 9 < 7x - 4 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$25x^2 - 37x + 13 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $25x^2 - 37x + 13 = 0$.

Дискриминант $D = (-37)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 13 = 1369 - 1300 = 69$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{37 - \sqrt{69}}{50}$ и $x_2 = \frac{37 + \sqrt{69}}{50}$.

Так как ветви параболы $y = 25x^2 - 37x + 13$ направлены вверх, решение неравенства есть интервал $(\frac{37 - \sqrt{69}}{50}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

Теперь найдем пересечение этого интервала с условием $x \ge \frac{3}{5}$.

Сравним $\frac{3}{5}$ и $\frac{37 - \sqrt{69}}{50}$. $\frac{3}{5} = \frac{30}{50}$. Сравним $30$ и $37 - \sqrt{69}$, что эквивалентно сравнению $ \sqrt{69}$ и $7$. Так как $69 > 49$, то $\sqrt{69} > 7$, следовательно, $37 - \sqrt{69} < 30$. Значит, $\frac{37 - \sqrt{69}}{50} < \frac{3}{5}$.

Пересечением будет интервал $[\frac{3}{5}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

4. Объединим решения обеих систем:

$(\frac{4}{7}; \frac{3}{5}) \cup [\frac{3}{5}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50}) = (\frac{4}{7}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{4}{7}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

б) $\frac{3x - 2}{\sqrt{5x - 2}} < 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$5x - 2 > 0$

$5x > 2$

$x > \frac{2}{5}$

2. Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $\sqrt{5x - 2}$:

$3x - 2 < \sqrt{5x - 2}$

3. Решим полученное иррациональное неравенство, рассмотрев два случая:

Первый случай (левая часть отрицательна):

$\begin{cases} 3x - 2 < 0 \\ 5x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{2}{3} \\ x > \frac{2}{5} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $x \in (\frac{2}{5}; \frac{2}{3})$.

Второй случай (обе части неотрицательны):

$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ (3x - 2)^2 < (\sqrt{5x - 2})^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ 9x^2 - 12x + 4 < 5x - 2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$9x^2 - 17x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 - 17x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 6 = 289 - 216 = 73$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{17 - \sqrt{73}}{18}$ и $x_2 = \frac{17 + \sqrt{73}}{18}$.

Решение неравенства $9x^2 - 17x + 6 < 0$ есть интервал $(\frac{17 - \sqrt{73}}{18}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge \frac{2}{3}$.

Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{17 - \sqrt{73}}{18}$. $\frac{2}{3} = \frac{12}{18}$. Сравним $12$ и $17 - \sqrt{73}$, что эквивалентно сравнению $\sqrt{73}$ и $5$. Так как $73 > 25$, то $\sqrt{73} > 5$, следовательно, $17 - \sqrt{73} < 12$. Значит, $\frac{17 - \sqrt{73}}{18} < \frac{2}{3}$.

Пересечением будет интервал $[\frac{2}{3}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.

4. Объединим решения обоих случаев:

$(\frac{2}{5}; \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18}) = (\frac{2}{5}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{2}{5}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.