Номер 171, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 171, страница 424.

Условие.

171 a) $\sqrt{x^2 - 9} < 14 - 2x;$

B) $2 - 3x < \sqrt{4 + 9x - 9x^2};$

б) $\sqrt{x^2 - 6x} < 8 + 2x;$

Г) $4 - 5x < \sqrt{16 + 30x - 25x^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 9} < 14 - 2x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе трех неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ 14 - 2x > 0 & \text{(правая часть должна быть положительной)} \\ x^2 - 9 < (14 - 2x)^2 & \text{(возведение в квадрат обеих частей)} \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x^2 - 9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

2. $14 - 2x > 0 \implies 14 > 2x \implies 7 > x$, то есть $x < 7$.

3. $x^2 - 9 < (14 - 2x)^2 \implies x^2 - 9 < 196 - 56x + 4x^2 \implies 0 < 3x^2 - 56x + 205$.
Решим квадратное уравнение $3x^2 - 56x + 205 = 0$.
Дискриминант $D = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 205 = 3136 - 2460 = 676 = 26^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{56 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$; $x_2 = \frac{56 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{82}{6} = \frac{41}{3}$.
Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 56x + 205$ направлены вверх, неравенство $3x^2 - 56x + 205 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 5) \cup (\frac{41}{3}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \\ x < 7 \\ x \in (-\infty, 5) \cup (\frac{41}{3}, +\infty) \end{cases}$

Пересечение первого и второго условий дает $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 7)$.
Пересекая полученный результат с третьим условием $x \in (-\infty, 5) \cup (\frac{41}{3}, +\infty)$, находим итоговое решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 5)$.

---

б) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 6x} < 8 + 2x$.

Это неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} < g(x)$ и равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 6x \ge 0 \\ 8 + 2x > 0 \\ x^2 - 6x < (8 + 2x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 6x \ge 0 \implies x(x-6) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [6, +\infty)$.

2. $8 + 2x > 0 \implies 2x > -8 \implies x > -4$.

3. $x^2 - 6x < (8 + 2x)^2 \implies x^2 - 6x < 64 + 32x + 4x^2 \implies 0 < 3x^2 + 38x + 64$.
Решим уравнение $3x^2 + 38x + 64 = 0$.
$D = 38^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 1444 - 768 = 676 = 26^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-38 - 26}{6} = \frac{-64}{6} = -\frac{32}{3}$; $x_2 = \frac{-38 + 26}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Решение неравенства $3x^2 + 38x + 64 > 0$ есть $x \in (-\infty, -\frac{32}{3}) \cup (-2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы:
$\begin{cases} x \in (-\infty, 0] \cup [6, +\infty) \\ x > -4 \\ x \in (-\infty, -\frac{32}{3}) \cup (-2, +\infty) \end{cases}$

Пересечение первых двух условий: $x \in (-4, 0] \cup [6, +\infty)$.
Пересекая это с третьим условием, получаем: $(-4, 0] \cap (-2, +\infty) = (-2, 0]$ и $[6, +\infty) \cap (-2, +\infty) = [6, +\infty)$.
Объединяя эти интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-2, 0] \cup [6, +\infty)$.

---

в) Решим неравенство $2 - 3x < \sqrt{4 + 9x - 9x^2}$.

Неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$ равносильно совокупности двух систем.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): $4 + 9x - 9x^2 \ge 0 \implies 9x^2 - 9x - 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 9x - 4 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{9 - 15}{18} = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{9 + 15}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$.
Решение неравенства $9x^2 - 9x - 4 \le 0$ (ОДЗ): $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}]$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Левая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
$\begin{cases} 2 - 3x < 0 \\ x \in [-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}] \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x \in [-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}] \end{cases}$
Пересечение этих условий дает $x \in (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$.

Случай 2: Левая часть неравенства неотрицательна. Можно возвести обе части в квадрат.
$\begin{cases} 2 - 3x \ge 0 \\ (2 - 3x)^2 < 4 + 9x - 9x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{2}{3} \\ 4 - 12x + 9x^2 < 4 + 9x - 9x^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $18x^2 - 21x < 0 \implies 3x(6x - 7) < 0$. Корни $0$ и $\frac{7}{6}$. Решение: $x \in (0, \frac{7}{6})$.
Система принимает вид: $\begin{cases} x \le \frac{2}{3} \\ x \in (0, \frac{7}{6}) \end{cases}$
Пересечение этих условий дает $x \in (0, \frac{2}{3}]$. Это решение входит в ОДЗ.

Объединяя решения обоих случаев, получаем: $(0, \frac{2}{3}] \cup (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}] = (0, \frac{4}{3}]$.

Ответ: $x \in (0, \frac{4}{3}]$.

---

г) Решим неравенство $4 - 5x < \sqrt{16 + 30x - 25x^2}$.

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$. Решается рассмотрением двух случаев.

ОДЗ: $16 + 30x - 25x^2 \ge 0 \implies 25x^2 - 30x - 16 \le 0$.
Найдем корни $25x^2 - 30x - 16 = 0$.
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-16) = 900 + 1600 = 2500 = 50^2$.
$x_1 = \frac{30 - 50}{50} = -\frac{20}{50} = -\frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{30 + 50}{50} = \frac{80}{50} = \frac{8}{5}$.
ОДЗ: $x \in [-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}]$.

Случай 1: $4 - 5x < 0$.
$\begin{cases} 4 - 5x < 0 \\ x \in [-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}] \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{4}{5} \\ x \in [-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}] \end{cases}$
Решение: $x \in (\frac{4}{5}, \frac{8}{5}]$.

Случай 2: $4 - 5x \ge 0$.
$\begin{cases} 4 - 5x \ge 0 \\ (4 - 5x)^2 < 16 + 30x - 25x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{4}{5} \\ 16 - 40x + 25x^2 < 16 + 30x - 25x^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $50x^2 - 70x < 0 \implies 10x(5x - 7) < 0$. Решение: $x \in (0, \frac{7}{5})$.
Система: $\begin{cases} x \le \frac{4}{5} \\ x \in (0, \frac{7}{5}) \end{cases}$
Решение: $x \in (0, \frac{4}{5}]$.

Объединяем решения обоих случаев: $(0, \frac{4}{5}] \cup (\frac{4}{5}, \frac{8}{5}] = (0, \frac{8}{5}]$.

Ответ: $x \in (0, \frac{8}{5}]$.