Номер 164, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 164, страница 424.

Условие.

164 а) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 5x + 6} < 0;$

б) $\frac{x^2 - 6x + 18}{-x^2 + 8x - 12} > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для решения неравенства $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 5x + 6} < 0 $ необходимо найти нули числителя и знаменателя, а затем применить метод интервалов.

1. Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

2. Найдем корни знаменателя, решив квадратное уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Корни уравнения: $x_3 = -3$ и $x_4 = -2$.
Знаменатель раскладывается на множители: $x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq -3$ и $x \neq -2$.

3. Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде:
$ \frac{(x-2)(x-3)}{(x+3)(x+2)} < 0 $

4. Применим метод интервалов. Нанесем на числовую ось корни числителя и знаменателя в порядке возрастания: -3, -2, 2, 3. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми (не включаются в решение).
Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом из интервалов, подставив любое значение из интервала в левую часть неравенства:
- В интервале $(3; +\infty)$, например при $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
- В интервале $(2; 3)$, например при $x=2.5$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0$
- В интервале $(-2; 2)$, например при $x=0$: $\frac{(-)(-)}{(+)(+)} > 0$
- В интервале $(-3; -2)$, например при $x=-2.5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$
- В интервале $(-\infty; -3)$, например при $x=-4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это происходит на интервалах $(-3; -2)$ и $(2; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$.

б) Решим неравенство $ \frac{x^2 - 6x + 18}{-x^2 + 8x - 12} > 0 $.

1. Рассмотрим числитель дроби: $x^2 - 6x + 18$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 36 - 72 = -36$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) $a = 1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 18$ всегда принимает положительные значения для любого действительного $x$.

2. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:
$-x^2 + 8x - 12 > 0$

3. Чтобы решить это квадратное неравенство, умножим обе его части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 - 8x + 12 < 0$

4. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Теперь неравенство можно записать в виде: $(x-2)(x-6) < 0$.

5. Графиком функции $y = x^2 - 8x + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает отрицательные значения на интервале между своими корнями.
Таким образом, решением неравенства является интервал $(2; 6)$.
Корни знаменателя $x=2$ и $x=6$ не включаются в решение, что соответствует ОДЗ исходного неравенства.

Ответ: $x \in (2; 6)$.