Номер 167, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 167, страница 424.

Условие.

167 a) $ \frac{x+1}{x-2} > \frac{3}{x-2} - \frac{1}{2} $

б) $ \frac{x+4}{x+2} < \frac{2}{x+2} + \frac{1}{7} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Решим неравенство $ \frac{x+1}{x-2} > \frac{3}{x-2} - \frac{1}{2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$ \frac{x+1}{x-2} - \frac{3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Приведем дроби с одинаковым знаменателем к одной дроби:

$ \frac{(x+1) - 3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{x-2}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Поскольку $x \neq 2$ из ОДЗ, выражение $ \frac{x-2}{x-2} $ равно 1. Неравенство упрощается до:

$ 1 + \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{3}{2} > 0 $

Полученное неравенство является верным числовым неравенством. Это означает, что исходное неравенство верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{x+4}{x+2} < \frac{2}{x+2} + \frac{1}{7} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x+4}{x+2} - \frac{2}{x+2} - \frac{1}{7} < 0 $

Сгруппируем слагаемые с общим знаменателем:

$ \frac{(x+4) - 2}{x+2} - \frac{1}{7} < 0 $

$ \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{7} < 0 $

Учитывая ОДЗ ($x \neq -2$), выражение $ \frac{x+2}{x+2} $ равно 1. Получаем:

$ 1 - \frac{1}{7} < 0 $

$ \frac{6}{7} < 0 $

Полученное неравенство является ложным, так как $ \frac{6}{7} $ — положительное число. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).