Номер 161, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 161, страница 423.

Условие.

161 a) $3x^2 + 2x + 1 \ge 0;$

б) $-x^2 + 2x - 3 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $3x^2 + 2x + 1 \ge 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола. Нам нужно определить, на каких интервалах эта парабола находится выше или на оси Ox.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 2x + 1 = 0$, чтобы определить точки пересечения параболы с осью Ox. Для этого вычислим дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $a = 3, b = 2, c = 1$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D = -8 < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 3x^2 + 2x + 1$ не пересекает ось Ox.

Теперь определим, где расположена парабола относительно оси Ox. Так как старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола, ветви которой направлены вверх и которая не пересекает ось Ox, целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть все её значения положительны.

Следовательно, выражение $3x^2 + 2x + 1$ всегда больше нуля при любом значении $x$. Это значит, что неравенство $3x^2 + 2x + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число).

б) $-x^2 + 2x - 3 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x - 3$. Графиком является парабола. Нам нужно найти значения $x$, при которых парабола находится строго выше оси Ox.

Найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 2x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $a = -1, b = 2, c = -3$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D = -8 < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Определим расположение параболы. Старший коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Парабола, ветви которой направлены вниз и которая не пересекает ось Ox, целиком расположена в нижней полуплоскости. Это означает, что все значения функции $y = -x^2 + 2x - 3$ отрицательны.

Неравенство $-x^2 + 2x - 3 > 0$ требует, чтобы выражение было положительным. Но, как мы установили, оно всегда отрицательно при любом $x$. Следовательно, не существует таких значений $x$, которые бы удовлетворяли данному неравенству.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).