Номер 156, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 156, страница 423.

Условие.

156$x^2 - \cos 2x^2 + 1 = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Перепишем исходное уравнение в виде:

$x^2 + 1 = \cos(2x^2)$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции и оценим их области значений.

1. Левая часть уравнения: $f(x) = x^2 + 1$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то наименьшее значение левой части равно $0^2 + 1 = 1$. Таким образом, для левой части уравнения справедливо неравенство: $x^2 + 1 \ge 1$.

2. Правая часть уравнения: $g(x) = \cos(2x^2)$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого значения аргумента $2x^2$ значение косинуса не может превышать 1. Таким образом, для правой части уравнения справедливо неравенство: $\cos(2x^2) \le 1$.

Исходное уравнение $x^2 + 1 = \cos(2x^2)$ может иметь решение только в том случае, когда его левая и правая части равны. Исходя из полученных оценок, это возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ \cos(2x^2) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 + 1 = 1$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=0$ второму уравнению системы:

$\cos(2 \cdot 0^2) = \cos(0) = 1$

Второе уравнение также обращается в верное равенство $1 = 1$.

Следовательно, единственным решением системы, а значит и исходного уравнения, является $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.