Номер 151, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 151, страница 423.

Условие.

151 $\left(\frac{5}{7}\right)^{x-2} \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \frac{125}{343}$

Решение 1.

Решение 4.

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести все его части к одному основанию. Заметим, что основания степеней $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{7}{5} $ являются взаимно обратными числами, а правая часть уравнения $ \frac{125}{343} $ может быть представлена как степень числа $ \frac{5}{7} $.

Исходное уравнение:

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2} \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \frac{125}{343} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется знаменателем показателя $ \frac{1}{x-1} $. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

Преобразуем уравнение, приведя все к основанию $ \frac{5}{7} $.

1. Второй множитель в левой части: $ \left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \left(\left(\frac{5}{7}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \left(\frac{5}{7}\right)^{-\frac{1}{x-1}} $.

2. Правая часть уравнения: $ \frac{125}{343} = \frac{5^3}{7^3} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $.

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{-\frac{1}{x-1}} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2 + \left(-\frac{1}{x-1}\right)} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $$

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2 - \frac{1}{x-1}} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, можем приравнять их показатели:

$$ x-2 - \frac{1}{x-1} = 3 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$$ x - 2 - 3 - \frac{1}{x-1} = 0 $$

$$ x - 5 - \frac{1}{x-1} = 0 $$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)$:

$$ \frac{(x-5)(x-1) - 1}{x-1} = 0 $$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $ x \neq 1 $ мы уже учли в ОДЗ. Приравниваем числитель к нулю:

$$ (x-5)(x-1) - 1 = 0 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ x^2 - x - 5x + 5 - 1 = 0 $$

$$ x^2 - 6x + 4 = 0 $$

Получилось квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы корней через дискриминант $ D = b^2 - 4ac $.

Для нашего уравнения $a=1$, $b=-6$, $c=4$.

$$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 $$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} $$

Разделив числитель на 2, получаем два корня:

$$ x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5} $$

$$ x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5} $$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq 1 $). Следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $3 + \sqrt{5}; 3 - \sqrt{5}$.