Номер 145, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 145, страница 422.

Условие.

145 a) $log_{12}(x-3) + \sqrt{6-2x} + x = 5;$

б) $log_{0.3}(10-5x) + \sqrt{3x-6} - x = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $log_{12}(x-3) + \sqrt{6-2x} + x = 5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. ОДЗ определяется условиями существования всех выражений в уравнении:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x - 3 > 0$.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $6 - 2x \geq 0$.

Решим полученную систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 6 - 2x \geq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$x > 3$

Из второго неравенства получаем:

$6 \geq 2x$

$3 \geq x$, или $x \leq 3$

Таким образом, мы должны найти значения $x$, удовлетворяющие системе:

$\begin{cases} x > 3 \\ x \leq 3 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно строго больше 3 и меньше либо равно 3. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $log_{0,3}(10 - 5x) + \sqrt{3x - 6} - x = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. ОДЗ определяется двумя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $10 - 5x > 0$.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x - 6 \geq 0$.

Решим полученную систему неравенств:

$\begin{cases} 10 - 5x > 0 \\ 3x - 6 \geq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$10 > 5x$

$2 > x$, или $x < 2$

Из второго неравенства получаем:

$3x \geq 6$

$x \geq 2$

Таким образом, мы должны найти значения $x$, удовлетворяющие системе:

$\begin{cases} x < 2 \\ x \geq 2 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа $x$, которое было бы одновременно строго меньше 2 и больше либо равно 2. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.