Номер 140, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 140, страница 422.

Условие.

140 a) $2^{x-3} + 2^{3-x} = -x^2 + 6x - 7;$

б) $2^{x-2} + 2^{2-x} = -x^2 + 4x - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $2^{x-3} + 2^{3-x} = -x^2 + 6x - 7$.

Данное уравнение содержит как показательную, так и квадратичную функции. Такие уравнения удобно решать методом оценки, анализируя области значений левой и правой частей.

1. Анализ левой части уравнения (ЛЧ)

Пусть $f(x) = 2^{x-3} + 2^{3-x}$. Заметим, что $2^{3-x} = \frac{1}{2^{x-3}}$. Выражение $f(x)$ представляет собой сумму двух взаимно обратных положительных чисел. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши), которое гласит, что для любого положительного числа $a$ справедливо $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

В нашем случае $a = 2^{x-3}$. Тогда:

$f(x) = 2^{x-3} + \frac{1}{2^{x-3}} \ge 2$.

Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения равно 2. Это значение достигается, когда слагаемые равны, то есть $2^{x-3} = 1$.

$2^{x-3} = 2^0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Итак, ЛЧ $\ge 2$, причем равенство достигается при $x=3$.

2. Анализ правой части уравнения (ПЧ)

Пусть $g(x) = -x^2 + 6x - 7$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Свое наибольшее значение она принимает в вершине.

Координата вершины параболы $x_v$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x=3$ в $g(x)$:

$g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$.

Таким образом, наибольшее значение правой части уравнения равно 2, и оно достигается при $x=3$. Итак, ПЧ $\le 2$.

3. Нахождение решения

Мы получили, что для любого $x$ левая часть уравнения $2^{x-3} + 2^{3-x} \ge 2$, а правая часть $-x^2 + 6x - 7 \le 2$.

Равенство между ними возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 2. Как мы установили, это происходит при одном и том же значении $x = 3$.

Проверим: при $x=3$ левая часть равна $2^{3-3} + 2^{3-3} = 1+1=2$, и правая часть равна $-3^2+6 \cdot 3-7 = -9+18-7=2$.

Поскольку $2=2$, $x=3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$

б)

Рассмотрим уравнение $2^{x-2} + 2^{2-x} = -x^2 + 4x - 2$.

Решим это уравнение аналогично предыдущему, методом оценки.

1. Анализ левой части уравнения (ЛЧ)

Пусть $f(x) = 2^{x-2} + 2^{2-x}$. Это также сумма двух взаимно обратных положительных величин.

По неравенству Коши ($a + \frac{1}{a} \ge 2$):

$f(x) = 2^{x-2} + \frac{1}{2^{x-2}} \ge 2$.

Наименьшее значение левой части равно 2. Оно достигается при $2^{x-2}=1$.

$2^{x-2} = 2^0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Итак, ЛЧ $\ge 2$, и равенство достигается при $x=2$.

2. Анализ правой части уравнения (ПЧ)

Пусть $g(x) = -x^2 + 4x - 2$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз. Найдем ее наибольшее значение в вершине.

Координата вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.

Наибольшее значение функции:

$g(2) = -(2)^2 + 4(2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.

Итак, ПЧ $\le 2$, и равенство достигается при $x=2$.

3. Нахождение решения

Мы имеем левую часть, которая всегда не меньше 2, и правую часть, которая всегда не больше 2. Равенство возможно только если обе части равны 2. Мы выяснили, что и левая, и правая части принимают значение 2 при одном и том же $x = 2$.

Следовательно, $x=2$ является единственным корнем уравнения.

Проверка: при $x=2$ левая часть равна $2^{2-2} + 2^{2-2} = 1+1=2$, и правая часть равна $-2^2+4 \cdot 2 - 2 = -4+8-2=2$.

Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $2$