Номер 147, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 147, страница 422.

Условие.

147 а) $|5 - x| + |x + 1| = 6 \sin x;$

Б) $|x - 2| + |x - 8| = 6 \sin x;$

В) $|x + 5| + |x - 1| = 6 \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $|5 - x| + |x + 1| = 6 \sin x$.

Левую часть уравнения, $L(x) = |5 - x| + |x + 1|$, можно представить как $L(x) = |x - 5| + |x - (-1)|$. Геометрически это выражение равно сумме расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $5$ и $-1$.

Расстояние между точками $5$ и $-1$ равно $|5 - (-1)| = 6$. По свойству расстояний (неравенство треугольника), сумма расстояний от точки $x$ до двух фиксированных точек не может быть меньше расстояния между этими точками. Таким образом, $L(x) \ge 6$. Равенство $L(x) = 6$ достигается тогда и только тогда, когда точка $x$ лежит на отрезке, соединяющем точки $-1$ и $5$, то есть при $-1 \le x \le 5$.

Правая часть уравнения, $R(x) = 6 \sin x$. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений функции $R(x)$ — это отрезок $[-6, 6]$. Это означает, что $R(x) \le 6$.

Для того чтобы исходное равенство $L(x) = R(x)$ выполнялось, необходимо, чтобы обе части уравнения были равны, при этом $L(x) \ge 6$ и $R(x) \le 6$. Единственная возможность для этого — когда обе части равны $6$.

Следовательно, мы должны решить систему из двух условий:

1) $|x - 5| + |x + 1| = 6 \implies -1 \le x \le 5$.

2) $6 \sin x = 6 \implies \sin x = 1$.

Решениями уравнения $\sin x = 1$ являются $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь нужно найти те решения, которые принадлежат отрезку $[-1, 5]$.

Проверим значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 1.57$. Этот корень удовлетворяет неравенству $-1 \le 1.57 \le 5$.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-1, 5]$.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Этот корень также не принадлежит отрезку $[-1, 5]$.

Таким образом, существует единственное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

б)

Рассмотрим уравнение $|x - 2| + |x - 8| = 6 \sin x$.

Аналогично предыдущему пункту, оценим левую и правую части уравнения.

Левая часть $L(x) = |x - 2| + |x - 8|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $2$ и $8$. Расстояние между точками $2$ и $8$ равно $|8 - 2| = 6$. Следовательно, $L(x) \ge 6$. Равенство достигается при $2 \le x \le 8$.

Правая часть $R(x) = 6 \sin x$ принимает значения из отрезка $[-6, 6]$, то есть $R(x) \le 6$.

Равенство $L(x) = R(x)$ возможно только при условии $L(x) = R(x) = 6$. Это приводит к системе:

1) $|x - 2| + |x - 8| = 6 \implies 2 \le x \le 8$.

2) $6 \sin x = 6 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, удовлетворяющие условию $2 \le x \le 8$.

Проверим значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Этот корень не входит в отрезок $[2, 8]$.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.1416$, то $x \approx \frac{5 \cdot 3.1416}{2} \approx 7.854$. Этот корень удовлетворяет неравенству $2 \le 7.854 \le 8$.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \approx 14.137$. Этот корень не принадлежит отрезку $[2, 8]$.

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{2}$.

в)

Рассмотрим уравнение $|x + 5| + |x - 1| = 6 \sin x$.

Снова применим метод оценки.

Левая часть $L(x) = |x + 5| + |x - 1| = |x - (-5)| + |x - 1|$. Это сумма расстояний от точки $x$ до точек $-5$ и $1$. Расстояние между этими точками равно $|1 - (-5)| = 6$. Таким образом, $L(x) \ge 6$, и равенство достигается при $-5 \le x \le 1$.

Правая часть $R(x) = 6 \sin x$ имеет максимальное значение $6$.

Равенство $L(x) = R(x)$ возможно только если обе части равны $6$. Получаем систему:

1) $|x + 5| + |x - 1| = 6 \implies -5 \le x \le 1$.

2) $6 \sin x = 6 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, которые принадлежат отрезку $[-5, 1]$.

Проверим значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Этот корень не входит в отрезок $[-5, 1]$, так как $1.57 > 1$.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.1416$, то $x \approx -\frac{3 \cdot 3.1416}{2} \approx -4.712$. Этот корень удовлетворяет неравенству $-5 \le -4.712 \le 1$.
• При $k = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} \approx -10.99$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-5, 1]$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2}$.