Номер 149, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 149, страница 423.

Условие.

149 $cos(\pi(x+3\sqrt{x}))\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение: $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) \cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1$.

Поскольку область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, произведение двух косинусов может быть равно $-1$ только в двух случаях:

1. $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = 1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1$.
2. $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = -1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = 1$.

Рассмотрим каждый случай отдельно. Область допустимых значений для $x$ определяется наличием квадратного корня, поэтому $x \ge 0$.

Случай 1: $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = 1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1$

Из этих условий следует, что аргументы функций должны быть равны:
$\pi(x+3\sqrt{x}) = 2k\pi$, где $k$ — целое число.
$\pi(2x-\sqrt{x}) = (2m+1)\pi$, где $m$ — целое число.

Разделив на $\pi$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases}x+3\sqrt{x} = 2k \\2x-\sqrt{x} = 2m+1\end{cases}$

Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Система принимает вид:

$\begin{cases}t^2+3t = 2k \\2t^2-t = 2m+1\end{cases}$

Выразим $t$ из этих уравнений. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе:
$(2t^2+6t) - (2t^2-t) = 4k - (2m+1)$
$7t = 4k-2m-1$
$t = \frac{4k-2m-1}{7}$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, $t$ должно быть рациональным числом. Пусть $t = p/q$, где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа и $q \ge 1$. Подставим это в первое уравнение системы:
$(p/q)^2 + 3(p/q) = 2k$
$\frac{p^2+3pq}{q^2} = 2k$
$p^2+3pq = 2kq^2$
$p^2 = 2kq^2 - 3pq = q(2kq - 3p)$

Из последнего равенства следует, что $q$ делит $p^2$. Так как $p$ и $q$ взаимно просты, это возможно только если $q=1$. Следовательно, $t$ должно быть целым числом.

Пусть $t=n$, где $n$ — неотрицательное целое число. Проверим условия на четность.
1. $n^2+3n = n(n+3)$ должно быть четным ($2k$). Если $n$ четное, то $n(n+3)$ четное. Если $n$ нечетное, то $n+3$ четное, и произведение $n(n+3)$ также четное. Это условие выполняется для любого целого $n$.
2. $2n^2-n$ должно быть нечетным ($2m+1$). Так как $2n^2$ всегда четное, разность $2n^2-n$ будет нечетной тогда и только тогда, когда $n$ нечетное.

Итак, $t=n$ должно быть нечетным целым числом. Поскольку $t \ge 0$, $n$ должно быть положительным нечетным числом: $n \in \{1, 3, 5, ...\}$.
Тогда решения для $x$ имеют вид $x = t^2 = n^2$.
Таким образом, $x$ может быть квадратом любого положительного нечетного числа. Это можно записать в виде $x = (2j-1)^2$ для $j \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Случай 2: $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = -1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = 1$

В этом случае система уравнений имеет вид:

$\begin{cases}x+3\sqrt{x} = 2k+1 \\2x-\sqrt{x} = 2m\end{cases}$

Аналогично первому случаю, можно показать, что $t=\sqrt{x}$ должно быть целым числом. Пусть $t=n$, где $n$ — неотрицательное целое число.
Рассмотрим первое уравнение: $n^2+3n = n(n+3)$ должно быть нечетным числом.
Однако, как мы показали ранее, произведение $n(n+3)$ всегда четно для любого целого $n$. Четное число не может равняться нечетному, поэтому в этом случае решений нет.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что решения существуют только в первом случае.

Ответ: $x = (2j-1)^2$, где $j$ — любое натуральное число ($j=1, 2, 3, ...$).