Номер 148, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 148, страница 423.

Условие.

148 a) $\sqrt{|x^2 + 14x + 47|} - 1 = |x + 7| - 1;$

б) $\sqrt{|x^2 - 12x + 34|} - 1 = |x - 6| - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим уравнение $\sqrt{|x^2 + 14x + 47|} - 1 = |x + 7| - 1$.

Сначала упростим уравнение, прибавив 1 к обеим частям:

$\sqrt{|x^2 + 14x + 47|} = |x + 7|$

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения не накладывает дополнительных ограничений, так как выражение под модулем может быть любым, а результат модуля всегда неотрицателен, как и требуется для подкоренного выражения. Правая часть также неотрицательна.

Преобразуем выражение в левой части, выделив полный квадрат:

$x^2 + 14x + 47 = (x^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + 49) - 49 + 47 = (x + 7)^2 - 2$.

Подставим это обратно в уравнение:

$\sqrt{|(x + 7)^2 - 2|} = |x + 7|$

Сделаем замену переменной для упрощения. Пусть $y = |x + 7|$. Поскольку $y$ — это модуль, $y \ge 0$. Также заметим, что $(x + 7)^2 = |x + 7|^2 = y^2$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{|y^2 - 2|} = y$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$|y^2 - 2| = y^2$

Раскроем модуль. Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух систем: ($A \ge 0$ и $A=B$) или ($A < 0$ и $-A=B$). В нашем случае это равносильно совокупности двух уравнений, так как правая часть $y^2$ всегда неотрицательна.

1) $y^2 - 2 = y^2 \implies -2 = 0$. Это неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

2) $y^2 - 2 = -y^2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$.

Так как $y \ge 0$, из $y^2=1$ следует, что $y=1$.

Теперь выполним обратную замену:

$|x + 7| = 1$

Это уравнение распадается на два простых:

$x + 7 = 1 \implies x = 1 - 7 \implies x = -6$

$x + 7 = -1 \implies x = -1 - 7 \implies x = -8$

Ответ: $x = -8, x = -6$.

б) Решим уравнение $\sqrt{|x^2 - 12x + 34|} - 1 = |x - 6| - 1$.

Прибавим 1 к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:

$\sqrt{|x^2 - 12x + 34|} = |x - 6|$

Выделим полный квадрат в выражении под модулем в левой части:

$x^2 - 12x + 34 = (x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 36) - 36 + 34 = (x - 6)^2 - 2$.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$\sqrt{|(x - 6)^2 - 2|} = |x - 6|$

Это уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте а). Сделаем замену переменной. Пусть $z = |x - 6|$. Учитывая, что $z \ge 0$ и $(x - 6)^2 = |x - 6|^2 = z^2$, получаем:

$\sqrt{|z^2 - 2|} = z$

Это уравнение полностью аналогично уравнению для переменной $y$ из предыдущего пункта. Возводим обе части в квадрат:

$|z^2 - 2| = z^2$

Решение этого уравнения, как было показано ранее, приводит к $z^2 = 1$.

Поскольку $z \ge 0$, мы получаем $z = 1$.

Выполним обратную замену:

$|x - 6| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

$x - 6 = 1 \implies x = 1 + 6 \implies x = 7$

$x - 6 = -1 \implies x = -1 + 6 \implies x = 5$

Ответ: $x = 5, x = 7$.