Номер 139, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 139, страница 422.

Условие.

139 $(\frac{8}{7})^{\frac{1}{y^2}} = (\frac{7}{8})^{-\frac{1}{|2 - y^2|}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное показательное уравнение:

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\frac{7}{8}\right)^{-\frac{1}{|2-y^2|}} $$

Для решения приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $ \frac{7}{8} = \left(\frac{8}{7}\right)^{-1} $. Подставим это в правую часть уравнения:

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\left(\frac{8}{7}\right)^{-1}\right)^{-\frac{1}{|2-y^2|}} $$

Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, упростим правую часть:

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\frac{8}{7}\right)^{(-1) \cdot \left(-\frac{1}{|2-y^2|}\right)} $$

$$ \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{y^2}} = \left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{1}{|2-y^2|}} $$

Поскольку основания степеней одинаковы и не равны единице ($ \frac{8}{7} \neq 1 $), мы можем приравнять их показатели:

$$ \frac{1}{y^2} = \frac{1}{|2-y^2|} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в показателях степеней не должны равняться нулю:

1. $ y^2 \neq 0 $, что означает $ y \neq 0 $.

2. $ |2 - y^2| \neq 0 $, что означает $ 2 - y^2 \neq 0 $, или $ y^2 \neq 2 $. Следовательно, $ y \neq \sqrt{2} $ и $ y \neq -\sqrt{2} $.

Из уравнения $ \frac{1}{y^2} = \frac{1}{|2-y^2|} $ следует, что знаменатели должны быть равны: $ y^2 = |2-y^2| $. Для решения этого уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $ 2 - y^2 \ge 0 $.

Это условие эквивалентно $ y^2 \le 2 $. В этом случае $ |2-y^2| = 2-y^2 $. Уравнение принимает вид:

$$ y^2 = 2-y^2 $$

$$ 2y^2 = 2 $$

$$ y^2 = 1 $$

Отсюда получаем два корня: $ y = 1 $ и $ y = -1 $. Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $ y^2 \le 2 $. Для обоих корней $ y^2 = 1^2 = (-1)^2 = 1 $. Так как $ 1 \le 2 $, оба корня подходят под этот случай. Также они удовлетворяют ОДЗ ($ y \neq 0 $ и $ y^2 \neq 2 $).

Случай 2: $ 2 - y^2 < 0 $.

Это условие эквивалентно $ y^2 > 2 $. В этом случае $ |2-y^2| = -(2-y^2) = y^2-2 $. Уравнение принимает вид:

$$ y^2 = y^2-2 $$

$$ 0 = -2 $$

Получили неверное равенство, что означает, что в данном случае решений нет.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются значения, полученные в первом случае.

Ответ: $ y = \pm 1 $.