Страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

162 a) $x^3 - 3x - 2 < 0;$

б) $x^3 - 3x^2 + 4 > 0.$

a) $x^3 - 3x - 2 < 0$

Для решения данного кубического неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^3 - 3x - 2 = 0$. Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. В данном случае, делителями свободного члена $-2$ являются числа $\pm1, \pm2$.

Выполним проверку подстановкой:
При $x = -1$: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Следовательно, $x_1 = -1$ является корнем.
При $x = 2$: $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Следовательно, $x_2 = 2$ является корнем.

Зная один корень ($x=-1$), мы можем разложить многочлен на множители, разделив его на $(x+1)$. В результате деления (например, столбиком или по схеме Горнера) получаем:
$x^3 - 3x - 2 = (x+1)(x^2 - x - 2)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 2 = 0$. Его корни — это $x=2$ и $x=-1$.
Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Полное разложение многочлена на множители выглядит так:
$x^3 - 3x - 2 = (x+1)(x+1)(x-2) = (x+1)^2(x-2)$.

Исходное неравенство можно переписать в виде:
$(x+1)^2(x-2) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отмечаем точки, в которых множители обращаются в ноль: $x=-1$ и $x=2$.
Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно (то есть $\ge 0$). Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то равенство нулю исключается, значит $x \ne -1$.
При $x \ne -1$ множитель $(x+1)^2$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:
$x - 2 < 0$, что дает $x < 2$.

Итак, мы имеем систему из двух условий: $x < 2$ и $x \ne -1$.
Решением является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2)$.

б) $x^3 - 3x^2 + 4 > 0$

Аналогично предыдущему пункту, найдем корни уравнения $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Целые корни ищем среди делителей свободного члена $4$: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим их:
При $x = -1$: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Следовательно, $x_1 = -1$ является корнем.
При $x = 2$: $2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Следовательно, $x_2 = 2$ является корнем.

Разделив многочлен $x^3 - 3x^2 + 4$ на $(x+1)$, получим:
$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x^2 - 4x + 4)$.

Квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности:
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Таким образом, полное разложение многочлена на множители:
$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:
$(x+1)(x-2)^2 > 0$.

Решим это неравенство. Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Поскольку неравенство строгое ($> 0$), то равенство нулю исключается, значит $x \ne 2$.
При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ всегда положителен. Чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы первый множитель был положительным:
$x+1 > 0$, что дает $x > -1$.

Объединяя условия $x > -1$ и $x \ne 2$, получаем решение в виде объединения двух интервалов: $(-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

163 $\frac{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{(x + 4)(3 - x)(2x + 1)} > 0.$

Для решения данного дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Исходное неравенство:

$$ \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(3-x)(2x+1)} > 0 $$

Сначала приведем неравенство к стандартному виду, чтобы все множители с переменной $x$ имели вид $(x-a)$ с положительным коэффициентом при $x$. Для этого преобразуем множители $(3-x)$ и $(2x+1)$ в знаменателе.

В множителе $(3-x)$ вынесем $-1$ за скобку: $3-x = -(x-3)$.

В множителе $(2x+1)$ вынесем $2$ за скобку: $2x+1 = 2(x+0.5)$.

Подставив это в исходное неравенство, получим:

$$ \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(-(x-3))2(x+0.5)} > 0 $$

Вынесем числовые множители и знак "минус" за дробь:

$$ -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(x-3)(x+0.5)} > 0 $$

Умножим обе части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$ \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(x-3)(x+0.5)} < 0 $$

Теперь найдем точки, в которых левая часть неравенства равна нулю или не существует. Эти точки являются корнями числителя и знаменателя.

Корни числителя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$; $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

Корни знаменателя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$; $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+0.5=0 \Rightarrow x=-0.5$.

Нанесем эти точки на числовую ось в порядке возрастания: $-4, -3, -2, -1, -0.5, 3$. Поскольку неравенство строгое ($<0$), все точки будут выколотыми (не включаются в множество решений).

Эти точки разбивают числовую ось на семь интервалов. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3, +\infty)$, взяв пробное значение, например, $x=10$. Все множители в дроби будут положительными, значит, и вся дробь положительна. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться.

Двигаясь справа налево, расставляем знаки: $(3; +\infty) \rightarrow +$; $(-0.5; 3) \rightarrow -$; $(-1; -0.5) \rightarrow +$; $(-2; -1) \rightarrow -$; $(-3; -2) \rightarrow +$; $(-4; -3) \rightarrow -$; $(-\infty; -4) \rightarrow +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть те, над которыми стоит знак "–".

Это интервалы: $(-4; -3)$, $(-2; -1)$ и $(-0.5; 3)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (-2; -1) \cup (-0.5; 3)$

164 а) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 5x + 6} < 0;$

б) $\frac{x^2 - 6x + 18}{-x^2 + 8x - 12} > 0.$

а) Для решения неравенства $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 5x + 6} < 0 $ необходимо найти нули числителя и знаменателя, а затем применить метод интервалов.

1. Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

2. Найдем корни знаменателя, решив квадратное уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Корни уравнения: $x_3 = -3$ и $x_4 = -2$.
Знаменатель раскладывается на множители: $x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq -3$ и $x \neq -2$.

3. Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде:
$ \frac{(x-2)(x-3)}{(x+3)(x+2)} < 0 $

4. Применим метод интервалов. Нанесем на числовую ось корни числителя и знаменателя в порядке возрастания: -3, -2, 2, 3. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми (не включаются в решение).
Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом из интервалов, подставив любое значение из интервала в левую часть неравенства:
- В интервале $(3; +\infty)$, например при $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
- В интервале $(2; 3)$, например при $x=2.5$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0$
- В интервале $(-2; 2)$, например при $x=0$: $\frac{(-)(-)}{(+)(+)} > 0$
- В интервале $(-3; -2)$, например при $x=-2.5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$
- В интервале $(-\infty; -3)$, например при $x=-4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это происходит на интервалах $(-3; -2)$ и $(2; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$.

б) Решим неравенство $ \frac{x^2 - 6x + 18}{-x^2 + 8x - 12} > 0 $.

1. Рассмотрим числитель дроби: $x^2 - 6x + 18$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 36 - 72 = -36$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) $a = 1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 18$ всегда принимает положительные значения для любого действительного $x$.

2. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:
$-x^2 + 8x - 12 > 0$

3. Чтобы решить это квадратное неравенство, умножим обе его части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 - 8x + 12 < 0$

4. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Теперь неравенство можно записать в виде: $(x-2)(x-6) < 0$.

5. Графиком функции $y = x^2 - 8x + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает отрицательные значения на интервале между своими корнями.
Таким образом, решением неравенства является интервал $(2; 6)$.
Корни знаменателя $x=2$ и $x=6$ не включаются в решение, что соответствует ОДЗ исходного неравенства.

Ответ: $x \in (2; 6)$.

165 а) $\frac{3}{x-2} \ge x$;

б) $x \ge \frac{2}{x-1}$;

В) $\frac{x^2 - 1}{x+5} < 1$;

Г) $\frac{2x-1}{x-3} < x+3$.

а) Решим неравенство $\frac{3}{x-2} \ge x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \ne 0$, откуда $x \ne 2$.
Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$\frac{3}{x-2} - x \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3 - x(x-2)}{x-2} \ge 0$

$\frac{3 - x^2 + 2x}{x-2} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 2x + 3}{x-2} \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x-2} \le 0$

Найдем нули числителя, решив уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Тогда неравенство можно записать в виде:

$\frac{(x+1)(x-3)}{x-2} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($x=-1$, $x=3$) и нуль знаменателя ($x=2$). Нули числителя будут закрашенными точками (так как неравенство нестрогое), а нуль знаменателя — выколотой точкой.

Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -1]$, $[-1; 2)$, $(2; 3]$ и $[3; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$. Интервал подходит.
- при $-1 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(-)} = +$.
- при $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$. Интервал подходит.
- при $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2; 3]$.

б) Решим неравенство $x \ge \frac{2}{x-1}$.

ОДЗ: $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.
Перенесем дробь в левую часть:

$x - \frac{2}{x-1} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x(x-1) - 2}{x-1} \ge 0$

$\frac{x^2 - x - 2}{x-1} \ge 0$

Найдем корни числителя $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Запишем неравенство в виде:

$\frac{(x+1)(x-2)}{x-1} \ge 0$

Применим метод интервалов. Критические точки: $x=-1$ (включая), $x=1$ (исключая), $x=2$ (включая).
Интервалы: $(-\infty; -1]$, $[-1; 1)$, $(1; 2]$, $[2; +\infty)$.
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$.
- при $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(-)} = +$. Интервал подходит.
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$.
- при $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in [-1; 1) \cup [2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2-1}{x+5} < 1$.

ОДЗ: $x+5 \ne 0$, то есть $x \ne -5$.
Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x^2-1}{x+5} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2-1 - (x+5)}{x+5} < 0$

$\frac{x^2 - x - 6}{x+5} < 0$

Найдем корни числителя $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Получаем неравенство:

$\frac{(x+2)(x-3)}{x+5} < 0$

Методом интервалов находим решение. Критические точки $x=-5$, $x=-2$, $x=3$ выколоты, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$, $(-2; 3)$, $(3; +\infty)$.
- при $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$. Интервал подходит.
- при $-5 < x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)( -)}{(+)} = +$.
- при $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$. Интервал подходит.
- при $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.

Объединяем интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{2x-1}{x-3} < x+3$.

ОДЗ: $x-3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
Перенесем выражение из правой части в левую:

$\frac{2x-1}{x-3} - (x+3) < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x-1 - (x+3)(x-3)}{x-3} < 0$

$\frac{2x-1 - (x^2-9)}{x-3} < 0$

$\frac{2x-1 - x^2+9}{x-3} < 0$

$\frac{-x^2 + 2x + 8}{x-3} < 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x^2 - 2x - 8}{x-3} > 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Получаем неравенство:

$\frac{(x+2)(x-4)}{x-3} > 0$

Используем метод интервалов. Критические точки $x=-2$, $x=3$, $x=4$ выколоты.
Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$, $(3; 4)$, $(4; +\infty)$.
- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)( -)}{(-)} = -$.
- при $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(+)( -)}{(-)} = +$. Интервал подходит.
- при $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $\frac{(+)( -)}{(+)} = -$.
- при $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2; 3) \cup (4; +\infty)$.

166 а) $\frac{5}{2-x} > 1 + \frac{3}{x+2}$;

б) $\frac{5}{x+4} < 1 + \frac{1}{4-x}$;

В) $\frac{2}{3-x} > 1 - \frac{3}{x+2}$;

Г) $\frac{7}{x+5} < 1 + \frac{2}{5-x}.$

а) $\frac{5}{2-x} > 1 + \frac{3}{x+2}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{5}{2-x} - 1 - \frac{3}{x+2} > 0$

2. Область допустимых значений (ОДЗ): $2-x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(2-x)(x+2)$:

$\frac{5(x+2) - 1(2-x)(x+2) - 3(2-x)}{(2-x)(x+2)} > 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{5x + 10 - (4 - x^2) - (6 - 3x)}{(2-x)(x+2)} > 0$

$\frac{5x + 10 - 4 + x^2 - 6 + 3x}{(2-x)(x+2)} > 0$

$\frac{x^2 + 8x}{(2-x)(x+2)} > 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Вынесем знак минус из знаменателя:

$\frac{x(x+8)}{-(x-2)(x+2)} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x(x+8)}{(x-2)(x+2)} < 0$

6. Найдем нули числителя ($x=0, x=-8$) и нули знаменателя ($x=2, x=-2$).

7. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения на интервалах. Точки -8, -2, 0, 2 разбивают ось на 5 интервалов. Нам нужны интервалы, где выражение отрицательно.

Получаем решение: $x \in (-8, -2) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-8, -2) \cup (0, 2)$.

б) $\frac{5}{x+4} < 1 + \frac{1}{4-x}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{5}{x+4} - 1 - \frac{1}{4-x} < 0$

2. ОДЗ: $x+4 \neq 0$ и $4-x \neq 0$, следовательно $x \neq -4$ и $x \neq 4$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+4)(4-x) = -(x+4)(x-4)$:

$\frac{5(4-x) - 1(x+4)(4-x) - 1(x+4)}{(x+4)(4-x)} < 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{20 - 5x - (16 - x^2) - x - 4}{(x+4)(4-x)} < 0$

$\frac{20 - 5x - 16 + x^2 - x - 4}{(x+4)(4-x)} < 0$

$\frac{x^2 - 6x}{-(x+4)(x-4)} < 0$

5. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - 6x}{(x+4)(x-4)} > 0$

$\frac{x(x-6)}{(x+4)(x-4)} > 0$

6. Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0, x=6$. Нули знаменателя: $x=-4, x=4$.

7. Отметим точки -4, 0, 4, 6 на числовой оси. Определим знаки на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Получаем решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 4) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 4) \cup (6, +\infty)$.

в) $\frac{2}{3-x} > 1 - \frac{3}{x+2}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2}{3-x} - 1 + \frac{3}{x+2} > 0$

2. ОДЗ: $3-x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(3-x)(x+2)$:

$\frac{2(x+2) - 1(3-x)(x+2) + 3(3-x)}{(3-x)(x+2)} > 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2x+4 - (3x+6-x^2-2x) + 9-3x}{(3-x)(x+2)} > 0$

$\frac{2x+4 - (x+6-x^2) + 9-3x}{(3-x)(x+2)} > 0$

$\frac{2x+4 - x-6+x^2 + 9-3x}{(3-x)(x+2)} > 0$

$\frac{x^2 - 2x + 7}{(3-x)(x+2)} > 0$

5. Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 7$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то числитель $x^2 - 2x + 7$ положителен при любых значениях $x$.

6. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$(3-x)(x+2) > 0$

7. Решим это квадратное неравенство. Его нули: $x=3$ и $x=-2$. Ветви параболы $y=(3-x)(x+2)$ направлены вниз. Значит, выражение положительно между корнями.

Получаем решение: $x \in (-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

г) $\frac{7}{x+5} < 1 + \frac{2}{5-x}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{7}{x+5} - 1 - \frac{2}{5-x} < 0$

2. ОДЗ: $x+5 \neq 0$ и $5-x \neq 0$, следовательно $x \neq -5$ и $x \neq 5$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(5-x) = -(x+5)(x-5)$:

$\frac{7(5-x) - 1(x+5)(5-x) - 2(x+5)}{(x+5)(5-x)} < 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{35 - 7x - (25-x^2) - 2x - 10}{(x+5)(5-x)} < 0$

$\frac{35 - 7x - 25 + x^2 - 2x - 10}{(x+5)(5-x)} < 0$

$\frac{x^2 - 9x}{-(x+5)(x-5)} < 0$

5. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - 9x}{(x+5)(x-5)} > 0$

$\frac{x(x-9)}{(x+5)(x-5)} > 0$

6. Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0, x=9$. Нули знаменателя: $x=-5, x=5$.

7. Отметим точки -5, 0, 5, 9 на числовой оси. Определим знаки на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Получаем решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 5) \cup (9, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 5) \cup (9, +\infty)$.

167 a) $ \frac{x+1}{x-2} > \frac{3}{x-2} - \frac{1}{2} $

б) $ \frac{x+4}{x+2} < \frac{2}{x+2} + \frac{1}{7} $

a)

Решим неравенство $ \frac{x+1}{x-2} > \frac{3}{x-2} - \frac{1}{2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$ \frac{x+1}{x-2} - \frac{3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Приведем дроби с одинаковым знаменателем к одной дроби:

$ \frac{(x+1) - 3}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{x-2}{x-2} + \frac{1}{2} > 0 $

Поскольку $x \neq 2$ из ОДЗ, выражение $ \frac{x-2}{x-2} $ равно 1. Неравенство упрощается до:

$ 1 + \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{3}{2} > 0 $

Полученное неравенство является верным числовым неравенством. Это означает, что исходное неравенство верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{x+4}{x+2} < \frac{2}{x+2} + \frac{1}{7} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x+4}{x+2} - \frac{2}{x+2} - \frac{1}{7} < 0 $

Сгруппируем слагаемые с общим знаменателем:

$ \frac{(x+4) - 2}{x+2} - \frac{1}{7} < 0 $

$ \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{7} < 0 $

Учитывая ОДЗ ($x \neq -2$), выражение $ \frac{x+2}{x+2} $ равно 1. Получаем:

$ 1 - \frac{1}{7} < 0 $

$ \frac{6}{7} < 0 $

Полученное неравенство является ложным, так как $ \frac{6}{7} $ — положительное число. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

168 a) $\frac{1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \le 0$

б) $\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \ge 0$

в) $\frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \le 0$

г) $\frac{1 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \ge 0$

а)

Решим неравенство $\frac{1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это означает, что $x \neq 0$ (так как $x$ находится в знаменателе внутренних дробей) и $1 + \frac{1}{x} \neq 0$. Решим второе условие: $1 + \frac{1}{x} \neq 0 \implies \frac{1}{x} \neq -1 \implies x \neq -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Далее упростим выражение в левой части неравенства. Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $x$: $\frac{\frac{x}{x} - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-3}{x}}{\frac{x+1}{x}}$. При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$: $\frac{x-3}{x+1}$.

Теперь решаем неравенство $\frac{x-3}{x+1} \le 0$ методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя: $x-3=0 \implies x=3$. $x+1=0 \implies x=-1$.

Наносим точки $-1$ и $3$ на числовую ось. Точка $x=3$ будет закрашенной (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю). Определяем знаки выражения $\frac{x-3}{x+1}$ в получившихся интервалах:

• При $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$: $\frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5} > 0$.
• При $x \in (-1; 3)$, например $x=1$: $\frac{1-3}{1+1} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$.
• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2-3}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$.

Решением неравенства $\frac{x-3}{x+1} \le 0$ является интервал $(-1; 3]$. Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \neq 0$. Точка $x=0$ входит в полученный интервал, поэтому мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; 3]$.

б)

Решим неравенство $\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \ge 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $1 + \frac{3}{x} \neq 0 \implies \frac{3}{x} \neq -1 \implies x \neq -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим левую часть: $\frac{\frac{x+2}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \frac{x+2}{x+3}$.

Решаем неравенство $\frac{x+2}{x+3} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$. $x+3=0 \implies x=-3$.

Наносим точки на числовую ось: $x=-2$ (закрашенная), $x=-3$ (выколотая). Определяем знаки выражения в интервалах:

• При $x \in (-2; +\infty)$, например $x=0$: $\frac{0+2}{0+3} > 0$.
• При $x \in (-3; -2)$, например $x=-2.5$: $\frac{-2.5+2}{-2.5+3} < 0$.
• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{-4+2}{-4+3} > 0$.

Решением неравенства $\frac{x+2}{x+3} \ge 0$ является объединение интервалов $(-\infty; -3) \cup [-2; +\infty)$. Учитываем ОДЗ: $x \neq 0$. Исключаем эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \le 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $1 + \frac{3}{x} \neq 0 \implies x \neq -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим левую часть: $\frac{\frac{x-4}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \frac{x-4}{x+3}$.

Решаем неравенство $\frac{x-4}{x+3} \le 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$. $x+3=0 \implies x=-3$.

Наносим точки на числовую ось: $x=4$ (закрашенная), $x=-3$ (выколотая). Определяем знаки выражения в интервалах:

• При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{5-4}{5+3} > 0$.
• При $x \in (-3; 4)$, например $x=0$: $\frac{0-4}{0+3} < 0$.
• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{-4-4}{-4+3} > 0$.

Решением неравенства $\frac{x-4}{x+3} \le 0$ является интервал $(-3; 4]$. Учитываем ОДЗ: $x \neq 0$. Исключаем эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; 4]$.

г)

Решим неравенство $\frac{1 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \ge 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $1 - \frac{2}{x} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{2}{x} \implies x \neq 2$. ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим левую часть: $\frac{\frac{x-5}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \frac{x-5}{x-2}$.

Решаем неравенство $\frac{x-5}{x-2} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x-5=0 \implies x=5$. $x-2=0 \implies x=2$.

Наносим точки на числовую ось: $x=5$ (закрашенная), $x=2$ (выколотая). Определяем знаки выражения в интервалах:

• При $x \in (5; +\infty)$, например $x=6$: $\frac{6-5}{6-2} > 0$.
• При $x \in (2; 5)$, например $x=3$: $\frac{3-5}{3-2} < 0$.
• При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=1$: $\frac{1-5}{1-2} > 0$.

Решением неравенства $\frac{x-5}{x-2} \ge 0$ является объединение интервалов $(-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$. Учитываем ОДЗ: $x \neq 0$. Исключаем эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup [5; +\infty)$.

169 a) $ \frac{1}{x^2 + 8x - 9} \ge \frac{1}{3x^2 - 5x + 2} $;

б) $ \frac{1}{3x^2 + 11x + 10} \ge \frac{1}{2 - x - x^2} $.

а)

Решим неравенство $\frac{1}{x^2 + 8x - 9} \ge \frac{1}{3x^2 - 5x + 2}$.

1. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x^2 + 8x - 9} - \frac{1}{3x^2 - 5x + 2} \ge 0$

2. Разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Для $x^2 + 8x - 9 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Тогда $x^2 + 8x - 9 = (x - 1)(x + 9)$.

Для $3x^2 - 5x + 2 = 0$:
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни $x_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Тогда $3x^2 - 5x + 2 = 3(x - \frac{2}{3})(x - 1) = (3x - 2)(x - 1)$.

3. Подставим разложенные знаменатели в неравенство:

$\frac{1}{(x - 1)(x + 9)} - \frac{1}{(3x - 2)(x - 1)} \ge 0$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 9)(3x - 2)$:

$\frac{3x - 2 - (x + 9)}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \ge 0$

$\frac{3x - 2 - x - 9}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \ge 0$

$\frac{2x - 11}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \ge 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x - 11 = 0 \Rightarrow x = 5.5$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Отметим эти точки на числовой оси. Точки из знаменателя $(-9, \frac{2}{3}, 1)$ будут выколотыми, а точка из числителя $(5.5)$ — закрашенной, так как неравенство нестрогое.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x > 5.5$ (например, $x = 10$): $\frac{+}{(+)(+)(+)} = +$
- При $1 < x < 5.5$ (например, $x = 2$): $\frac{-}{(+)(+)(+)} = -$
- При $\frac{2}{3} < x < 1$ (например, $x = 0.8$): $\frac{-}{(-)(+)(+)} = +$
- При $-9 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x = 0$): $\frac{-}{(-)(+)(-)} = -$
- При $x < -9$ (например, $x = -10$): $\frac{-}{(-)(-)(-)} = +$

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (\frac{2}{3}; 1) \cup [5.5; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{1}{3x^2 + 11x + 10} \ge \frac{1}{2 - x - x^2}$.

1. Перенесем все члены в левую часть и преобразуем вторую дробь:

$\frac{1}{3x^2 + 11x + 10} - \frac{1}{-(x^2 + x - 2)} \ge 0$

$\frac{1}{3x^2 + 11x + 10} + \frac{1}{x^2 + x - 2} \ge 0$

2. Разложим знаменатели на множители.

Для $3x^2 + 11x + 10 = 0$:
Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$.
Корни $x_1 = \frac{-11 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$ и $x_2 = \frac{-11 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
Тогда $3x^2 + 11x + 10 = 3(x + 2)(x + \frac{5}{3}) = (x + 2)(3x + 5)$.

Для $x^2 + x - 2 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Тогда $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

3. Подставим разложенные знаменатели в неравенство:

$\frac{1}{(x + 2)(3x + 5)} + \frac{1}{(x - 1)(x + 2)} \ge 0$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(3x + 5)(x - 1)$:

$\frac{x - 1 + (3x + 5)}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

$\frac{x - 1 + 3x + 5}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

$\frac{4x + 4}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

$\frac{4(x + 1)}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
$3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Отметим эти точки на числовой оси: $-2, -\frac{5}{3}, -1, 1$. Точки из знаменателя $(-2, -\frac{5}{3}, 1)$ будут выколотыми, а точка из числителя $(-1)$ — закрашенной.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x > 1$ (например, $x = 2$): $\frac{+}{(+)(+)(+)} = +$
- При $-1 < x < 1$ (например, $x = 0$): $\frac{+}{(+)(+)(-)} = -$
- При $-\frac{5}{3} < x < -1$ (например, $x = -1.5$): $\frac{-}{(+)(+)(-)} = +$
- При $-2 < x < -\frac{5}{3}$ (например, $x = -1.8$): $\frac{-}{(+)(-)(-)} = -$
- При $x < -2$ (например, $x = -3$): $\frac{-}{(-)(-)(-)} = +$

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-\frac{5}{3}; -1] \cup (1; +\infty)$.

Решите неравенство (170—175):

170 а) $\sqrt{12x-11} < \sqrt{10x-9}$;

б) $\sqrt{11x-9} < \sqrt{9x-7}$;

в) $\sqrt{10x-7} < \sqrt{9x-5}$;

г) $\sqrt{10x-9} < \sqrt{8x-7}$.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{12x - 11} < \sqrt{10x - 9}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$12x - 11 \ge 0 \implies 12x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{12}$

$10x - 9 \ge 0 \implies 10x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{10}$

Для нахождения ОДЗ нужно, чтобы выполнялись оба условия. Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{9}{10}$. Приведем их к общему знаменателю 60: $\frac{11}{12} = \frac{55}{60}$ и $\frac{9}{10} = \frac{54}{60}$. Поскольку $\frac{55}{60} > \frac{54}{60}$, то $\frac{11}{12} > \frac{9}{10}$. Следовательно, ОДЗ определяется более строгим неравенством: $x \ge \frac{11}{12}$.

2. Решим неравенство. Так как обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{12x - 11})^2 < (\sqrt{10x - 9})^2$

$12x - 11 < 10x - 9$

$12x - 10x < 11 - 9$

$2x < 2$

$x < 1$

3. Найдем пересечение полученного решения $x < 1$ с ОДЗ $x \ge \frac{11}{12}$.

В результате получаем интервал $\frac{11}{12} \le x < 1$.

Ответ: $x \in [\frac{11}{12}, 1)$.

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{11x - 9} < \sqrt{9x - 7}$.

1. Найдем ОДЗ:

$11x - 9 \ge 0 \implies 11x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{11}$

$9x - 7 \ge 0 \implies 9x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{9}$

Сравним дроби $\frac{9}{11}$ и $\frac{7}{9}$. Общий знаменатель 99: $\frac{9}{11} = \frac{81}{99}$ и $\frac{7}{9} = \frac{77}{99}$. Так как $\frac{81}{99} > \frac{77}{99}$, то $\frac{9}{11} > \frac{7}{9}$. ОДЗ: $x \ge \frac{9}{11}$.

2. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(\sqrt{11x - 9})^2 < (\sqrt{9x - 7})^2$

$11x - 9 < 9x - 7$

$2x < 2$

$x < 1$

3. Найдем пересечение решения $x < 1$ с ОДЗ $x \ge \frac{9}{11}$.

Получаем интервал $\frac{9}{11} \le x < 1$.

Ответ: $x \in [\frac{9}{11}, 1)$.

в)

Исходное неравенство: $\sqrt{10x - 7} < \sqrt{9x - 5}$.

1. Найдем ОДЗ:

$10x - 7 \ge 0 \implies 10x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{10}$

$9x - 5 \ge 0 \implies 9x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{9}$

Сравним дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{5}{9}$. Общий знаменатель 90: $\frac{7}{10} = \frac{63}{90}$ и $\frac{5}{9} = \frac{50}{90}$. Так как $\frac{63}{90} > \frac{50}{90}$, то $\frac{7}{10} > \frac{5}{9}$. ОДЗ: $x \ge \frac{7}{10}$.

2. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(\sqrt{10x - 7})^2 < (\sqrt{9x - 5})^2$

$10x - 7 < 9x - 5$

$x < 2$

3. Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x \ge \frac{7}{10}$.

Получаем интервал $\frac{7}{10} \le x < 2$.

Ответ: $x \in [\frac{7}{10}, 2)$.

г)

Исходное неравенство: $\sqrt{10x - 9} < \sqrt{8x - 7}$.

1. Найдем ОДЗ:

$10x - 9 \ge 0 \implies 10x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{10}$

$8x - 7 \ge 0 \implies 8x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{8}$

Сравним дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{7}{8}$. Общий знаменатель 40: $\frac{9}{10} = \frac{36}{40}$ и $\frac{7}{8} = \frac{35}{40}$. Так как $\frac{36}{40} > \frac{35}{40}$, то $\frac{9}{10} > \frac{7}{8}$. ОДЗ: $x \ge \frac{9}{10}$.

2. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(\sqrt{10x - 9})^2 < (\sqrt{8x - 7})^2$

$10x - 9 < 8x - 7$

$2x < 2$

$x < 1$

3. Найдем пересечение решения $x < 1$ с ОДЗ $x \ge \frac{9}{10}$.

Получаем интервал $\frac{9}{10} \le x < 1$.

Ответ: $x \in [\frac{9}{10}, 1)$.

171 a) $\sqrt{x^2 - 9} < 14 - 2x;$

B) $2 - 3x < \sqrt{4 + 9x - 9x^2};$

б) $\sqrt{x^2 - 6x} < 8 + 2x;$

Г) $4 - 5x < \sqrt{16 + 30x - 25x^2}.$

а) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 9} < 14 - 2x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе трех неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ 14 - 2x > 0 & \text{(правая часть должна быть положительной)} \\ x^2 - 9 < (14 - 2x)^2 & \text{(возведение в квадрат обеих частей)} \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x^2 - 9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

2. $14 - 2x > 0 \implies 14 > 2x \implies 7 > x$, то есть $x < 7$.

3. $x^2 - 9 < (14 - 2x)^2 \implies x^2 - 9 < 196 - 56x + 4x^2 \implies 0 < 3x^2 - 56x + 205$.
Решим квадратное уравнение $3x^2 - 56x + 205 = 0$.
Дискриминант $D = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 205 = 3136 - 2460 = 676 = 26^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{56 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$; $x_2 = \frac{56 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{82}{6} = \frac{41}{3}$.
Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 56x + 205$ направлены вверх, неравенство $3x^2 - 56x + 205 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 5) \cup (\frac{41}{3}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \\ x < 7 \\ x \in (-\infty, 5) \cup (\frac{41}{3}, +\infty) \end{cases}$

Пересечение первого и второго условий дает $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 7)$.
Пересекая полученный результат с третьим условием $x \in (-\infty, 5) \cup (\frac{41}{3}, +\infty)$, находим итоговое решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 5)$.

б) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 6x} < 8 + 2x$.

Это неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} < g(x)$ и равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 6x \ge 0 \\ 8 + 2x > 0 \\ x^2 - 6x < (8 + 2x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 6x \ge 0 \implies x(x-6) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [6, +\infty)$.

2. $8 + 2x > 0 \implies 2x > -8 \implies x > -4$.

3. $x^2 - 6x < (8 + 2x)^2 \implies x^2 - 6x < 64 + 32x + 4x^2 \implies 0 < 3x^2 + 38x + 64$.
Решим уравнение $3x^2 + 38x + 64 = 0$.
$D = 38^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 1444 - 768 = 676 = 26^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-38 - 26}{6} = \frac{-64}{6} = -\frac{32}{3}$; $x_2 = \frac{-38 + 26}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Решение неравенства $3x^2 + 38x + 64 > 0$ есть $x \in (-\infty, -\frac{32}{3}) \cup (-2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы:
$\begin{cases} x \in (-\infty, 0] \cup [6, +\infty) \\ x > -4 \\ x \in (-\infty, -\frac{32}{3}) \cup (-2, +\infty) \end{cases}$

Пересечение первых двух условий: $x \in (-4, 0] \cup [6, +\infty)$.
Пересекая это с третьим условием, получаем: $(-4, 0] \cap (-2, +\infty) = (-2, 0]$ и $[6, +\infty) \cap (-2, +\infty) = [6, +\infty)$.
Объединяя эти интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-2, 0] \cup [6, +\infty)$.

в) Решим неравенство $2 - 3x < \sqrt{4 + 9x - 9x^2}$.

Неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$ равносильно совокупности двух систем.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): $4 + 9x - 9x^2 \ge 0 \implies 9x^2 - 9x - 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 9x - 4 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{9 - 15}{18} = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{9 + 15}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$.
Решение неравенства $9x^2 - 9x - 4 \le 0$ (ОДЗ): $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}]$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Левая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
$\begin{cases} 2 - 3x < 0 \\ x \in [-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}] \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x \in [-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}] \end{cases}$
Пересечение этих условий дает $x \in (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$.

Случай 2: Левая часть неравенства неотрицательна. Можно возвести обе части в квадрат.
$\begin{cases} 2 - 3x \ge 0 \\ (2 - 3x)^2 < 4 + 9x - 9x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{2}{3} \\ 4 - 12x + 9x^2 < 4 + 9x - 9x^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $18x^2 - 21x < 0 \implies 3x(6x - 7) < 0$. Корни $0$ и $\frac{7}{6}$. Решение: $x \in (0, \frac{7}{6})$.
Система принимает вид: $\begin{cases} x \le \frac{2}{3} \\ x \in (0, \frac{7}{6}) \end{cases}$
Пересечение этих условий дает $x \in (0, \frac{2}{3}]$. Это решение входит в ОДЗ.

Объединяя решения обоих случаев, получаем: $(0, \frac{2}{3}] \cup (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}] = (0, \frac{4}{3}]$.

Ответ: $x \in (0, \frac{4}{3}]$.

г) Решим неравенство $4 - 5x < \sqrt{16 + 30x - 25x^2}$.

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$. Решается рассмотрением двух случаев.

ОДЗ: $16 + 30x - 25x^2 \ge 0 \implies 25x^2 - 30x - 16 \le 0$.
Найдем корни $25x^2 - 30x - 16 = 0$.
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-16) = 900 + 1600 = 2500 = 50^2$.
$x_1 = \frac{30 - 50}{50} = -\frac{20}{50} = -\frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{30 + 50}{50} = \frac{80}{50} = \frac{8}{5}$.
ОДЗ: $x \in [-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}]$.

Случай 1: $4 - 5x < 0$.
$\begin{cases} 4 - 5x < 0 \\ x \in [-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}] \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{4}{5} \\ x \in [-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}] \end{cases}$
Решение: $x \in (\frac{4}{5}, \frac{8}{5}]$.

Случай 2: $4 - 5x \ge 0$.
$\begin{cases} 4 - 5x \ge 0 \\ (4 - 5x)^2 < 16 + 30x - 25x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{4}{5} \\ 16 - 40x + 25x^2 < 16 + 30x - 25x^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $50x^2 - 70x < 0 \implies 10x(5x - 7) < 0$. Решение: $x \in (0, \frac{7}{5})$.
Система: $\begin{cases} x \le \frac{4}{5} \\ x \in (0, \frac{7}{5}) \end{cases}$
Решение: $x \in (0, \frac{4}{5}]$.

Объединяем решения обоих случаев: $(0, \frac{4}{5}] \cup (\frac{4}{5}, \frac{8}{5}] = (0, \frac{8}{5}]$.

Ответ: $x \in (0, \frac{8}{5}]$.

172. a) $\sqrt{3-x} > x-2;$

б) $\frac{1}{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}} + \frac{1}{\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}} > 2.$

а)

Решим иррациональное неравенство $\sqrt{3 - x} > x - 2$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Система 1: Правая часть неравенства отрицательна.

$\begin{cases} x - 2 < 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \le 3 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $x < 2$, то есть $x \in (-\infty, 2)$.

Система 2: Правая часть неравенства неотрицательна.

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 3 - x > (x - 2)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства системы получаем $x \ge 2$.

Решим второе неравенство. Возводим правую часть в квадрат и переносим все члены в одну сторону:

$3 - x > x^2 - 4x + 4$

$0 > x^2 - 3x + 1$

$x^2 - 3x + 1 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Парабола $y = x^2 - 3x + 1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x + 1 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2})$.

Теперь найдем пересечение этого интервала с условием $x \ge 2$.

Так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$.

Тогда $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ находится в интервале от $\frac{3-3}{2}=0$ до $\frac{3-2}{2}=0.5$, то есть $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < 2$.

А $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ находится в интервале от $\frac{3+2}{2}=2.5$ до $\frac{3+3}{2}=3$, то есть $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 2$.

Пересечением решений $x \in (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2})$ и $x \ge 2$ является промежуток $x \in [2, \frac{3 + \sqrt{5}}{2})$.

Объединение решений:

Общим решением исходного неравенства является объединение решений двух систем:

$(-\infty, 2) \cup [2, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}) = (-\infty, \frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{3 + \sqrt{5}}{2})$.

б)

Решим неравенство $\frac{1}{\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}} > 2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Все выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны равняться нулю.

1) $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2) $x + 2\sqrt{x-1} \ge 0$. При $x \ge 1$ это выражение всегда неотрицательно.

3) $x - 2\sqrt{x-1} \ge 0$. Это выражение можно представить как $(\sqrt{x-1} - 1)^2$, что всегда неотрицательно.

4) Знаменатели не равны нулю:

$\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} \neq 0 \implies x + 2\sqrt{x-1} \neq 0$. При $x \ge 1$ это выполняется всегда.

$\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} \neq 0 \implies x - 2\sqrt{x-1} \neq 0 \implies (\sqrt{x-1}-1)^2 \neq 0 \implies \sqrt{x-1} \neq 1 \implies x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$ и $x \neq 2$, то есть $x \in [1, 2) \cup (2, \infty)$.

2. Упрощение выражения:

Заметим, что подкоренные выражения в знаменателях являются полными квадратами:

$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.

$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Тогда знаменатели равны:

$\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$ (так как $\sqrt{x-1} + 1 > 0$).

$\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} - 1|$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{1}{\sqrt{x-1} + 1} + \frac{1}{|\sqrt{x-1} - 1|} > 2$.

3. Решение неравенства:

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sqrt{x-1} - 1 > 0 \implies \sqrt{x-1} > 1 \implies x-1 > 1 \implies x > 2$.

В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$. Неравенство становится:

$\frac{1}{\sqrt{x-1} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x-1} - 1} > 2$

Приводим к общему знаменателю: $\frac{(\sqrt{x-1} - 1) + (\sqrt{x-1} + 1)}{(\sqrt{x-1})^2 - 1^2} > 2 \implies \frac{2\sqrt{x-1}}{x - 1 - 1} > 2 \implies \frac{2\sqrt{x-1}}{x - 2} > 2$.

Так как $x > 2$, то $x - 2 > 0$. Можем умножить обе части на $\frac{x-2}{2}$: $\sqrt{x-1} > x - 2$.

Обе части неравенства положительны, возводим в квадрат: $x-1 > (x-2)^2 \implies x-1 > x^2 - 4x + 4 \implies x^2 - 5x + 5 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 5x + 5 = 0$: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Решение квадратичного неравенства: $x \in (\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$.

Пересекаем это решение с условием $x > 2$. Так как $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1.38$, то пересечением будет интервал $(2, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$.

Случай 2: $\sqrt{x-1} - 1 < 0 \implies \sqrt{x-1} < 1$. С учетом ОДЗ ($x \ge 1$) получаем $1 \le x < 2$.

В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$. Неравенство становится:

$\frac{1}{1 + \sqrt{x-1}} + \frac{1}{1 - \sqrt{x-1}} > 2$

Приводим к общему знаменателю: $\frac{(1 - \sqrt{x-1}) + (1 + \sqrt{x-1})}{1^2 - (\sqrt{x-1})^2} > 2 \implies \frac{2}{1 - (x-1)} > 2 \implies \frac{2}{2 - x} > 2$.

Так как $1 \le x < 2$, то $2 - x > 0$. Делим обе части на 2: $\frac{1}{2-x} > 1$.

Умножаем на $2-x > 0$: $1 > 2 - x \implies x > 1$.

Пересекаем с условием $1 \le x < 2$, получаем $x \in (1, 2)$.

4. Итоговое решение:

Объединяем решения, полученные в обоих случаях:

$(1, 2) \cup (2, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$.

173 a) $\frac{5x - 3}{\sqrt{7x - 4}} < 1;$

б) $\frac{3x - 2}{\sqrt{5x - 2}} < 1.$

а) $\frac{5x - 3}{\sqrt{7x - 4}} < 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$7x - 4 > 0$

$7x > 4$

$x > \frac{4}{7}$

2. Поскольку знаменатель $\sqrt{7x - 4}$ всегда положителен в области ОДЗ, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$5x - 3 < \sqrt{7x - 4}$

3. Решим полученное иррациональное неравенство. Оно равносильно совокупности двух систем:

Первая система (когда левая часть отрицательна, а правая по определению неотрицательна, неравенство выполняется при условии ОДЗ):

$\begin{cases} 5x - 3 < 0 \\ 7x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{3}{5} \\ x > \frac{4}{7} \end{cases}$

Сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Приведем к общему знаменателю 35: $\frac{21}{35}$ и $\frac{20}{35}$. Так как $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, то $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$.

Решением этой системы является интервал $x \in (\frac{4}{7}; \frac{3}{5})$.

Вторая система (когда обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат):

$\begin{cases} 5x - 3 \ge 0 \\ (5x - 3)^2 < (\sqrt{7x - 4})^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{3}{5} \\ 25x^2 - 30x + 9 < 7x - 4 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$25x^2 - 37x + 13 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $25x^2 - 37x + 13 = 0$.

Дискриминант $D = (-37)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 13 = 1369 - 1300 = 69$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{37 - \sqrt{69}}{50}$ и $x_2 = \frac{37 + \sqrt{69}}{50}$.

Так как ветви параболы $y = 25x^2 - 37x + 13$ направлены вверх, решение неравенства есть интервал $(\frac{37 - \sqrt{69}}{50}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

Теперь найдем пересечение этого интервала с условием $x \ge \frac{3}{5}$.

Сравним $\frac{3}{5}$ и $\frac{37 - \sqrt{69}}{50}$. $\frac{3}{5} = \frac{30}{50}$. Сравним $30$ и $37 - \sqrt{69}$, что эквивалентно сравнению $ \sqrt{69}$ и $7$. Так как $69 > 49$, то $\sqrt{69} > 7$, следовательно, $37 - \sqrt{69} < 30$. Значит, $\frac{37 - \sqrt{69}}{50} < \frac{3}{5}$.

Пересечением будет интервал $[\frac{3}{5}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

4. Объединим решения обеих систем:

$(\frac{4}{7}; \frac{3}{5}) \cup [\frac{3}{5}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50}) = (\frac{4}{7}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{4}{7}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50})$.

б) $\frac{3x - 2}{\sqrt{5x - 2}} < 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$5x - 2 > 0$

$5x > 2$

$x > \frac{2}{5}$

2. Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $\sqrt{5x - 2}$:

$3x - 2 < \sqrt{5x - 2}$

3. Решим полученное иррациональное неравенство, рассмотрев два случая:

Первый случай (левая часть отрицательна):

$\begin{cases} 3x - 2 < 0 \\ 5x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{2}{3} \\ x > \frac{2}{5} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $x \in (\frac{2}{5}; \frac{2}{3})$.

Второй случай (обе части неотрицательны):

$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ (3x - 2)^2 < (\sqrt{5x - 2})^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ 9x^2 - 12x + 4 < 5x - 2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$9x^2 - 17x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 - 17x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 6 = 289 - 216 = 73$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{17 - \sqrt{73}}{18}$ и $x_2 = \frac{17 + \sqrt{73}}{18}$.

Решение неравенства $9x^2 - 17x + 6 < 0$ есть интервал $(\frac{17 - \sqrt{73}}{18}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge \frac{2}{3}$.

Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{17 - \sqrt{73}}{18}$. $\frac{2}{3} = \frac{12}{18}$. Сравним $12$ и $17 - \sqrt{73}$, что эквивалентно сравнению $\sqrt{73}$ и $5$. Так как $73 > 25$, то $\sqrt{73} > 5$, следовательно, $17 - \sqrt{73} < 12$. Значит, $\frac{17 - \sqrt{73}}{18} < \frac{2}{3}$.

Пересечением будет интервал $[\frac{2}{3}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.

4. Объединим решения обоих случаев:

$(\frac{2}{5}; \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18}) = (\frac{2}{5}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{2}{5}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18})$.

174 a) $\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{-x^2 - 7x - 10} < \sqrt{20 - x - 5};$

б) $\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{-x^2 - x + 2} \geq 1 - \sqrt{x}.$

а)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{-x^2 - 7x - 10} < \sqrt{20 - x - 5}$.

Сначала упростим подкоренное выражение в правой части неравенства: $20 - x - 5 = 15 - x$. Неравенство принимает вид:

$\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{-x^2 - 7x - 10} < \sqrt{15 - x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 5x \ge 0 \\ -x^2 - 7x - 10 \ge 0 \\ 15 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x^2 + 5x \ge 0 \implies x(x + 5) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

2. $-x^2 - 7x - 10 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 + 7x + 10 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 7x + 10$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 7x + 10 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5, -2]$.

3. $15 - x \ge 0 \implies x \le 15$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств, чтобы определить ОДЗ:

$( (-\infty, -5] \cup [0, \infty) ) \cap [-5, -2] \cap (-\infty, 15]$

Пересечение первых двух множеств, $(-\infty, -5] \cup [0, \infty)$ и $[-5, -2]$, дает единственную точку $x = -5$.

Эта точка удовлетворяет третьему условию, так как $-5 \le 15$.

Таким образом, ОДЗ неравенства состоит из одного-единственного числа: $x = -5$.

Подставим это значение в исходное неравенство, чтобы проверить, является ли оно решением:

$\sqrt{(-5)^2 + 5(-5)} + \sqrt{-(-5)^2 - 7(-5) - 10} < \sqrt{15 - (-5)}$

$\sqrt{25 - 25} + \sqrt{-25 + 35 - 10} < \sqrt{15 + 5}$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} < \sqrt{20}$

$0 < \sqrt{20}$

Полученное неравенство является верным. Следовательно, значение $x=-5$ является решением.

Ответ: $-5$.

б)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{-x^2 - x + 2} \ge 1 - \sqrt{x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ -x^2 - x + 2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. $-x^2 - x + 2 \ge 0 \implies x^2 + x - 2 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Решением неравенства является отрезок $x \in [-2, 1]$.

3. $x \ge 0$.

Найдем пересечение всех трех множеств:

$( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) ) \cap [-2, 1] \cap [0, \infty)$

Пересечение первых двух множеств, $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ и $[-2, 1]$, дает множество $[-2, -1] \cup \{1\}$.

Теперь пересечем полученное множество с третьим условием $x \ge 0$: $([-2, -1] \cup \{1\}) \cap [0, \infty)$. Интервал $[-2, -1]$ не имеет общих точек с $[0, \infty)$. Остается только точка $x=1$.

Таким образом, ОДЗ состоит из единственного значения $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в исходное неравенство:

$\sqrt{1^2 - 1} + \sqrt{-1^2 - 1 + 2} \ge 1 - \sqrt{1}$

$\sqrt{1 - 1} + \sqrt{-1 - 1 + 2} \ge 1 - 1$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} \ge 0$

$0 \ge 0$

Полученное неравенство является верным. Это означает, что $x=1$ является решением.

Ответ: $1$.

175 $\sqrt{x^2 - 8x + 12} \ge x - 5$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем. Решение исходного неравенства будет объединением решений этих двух систем.

$\sqrt{x^2 - 8x + 12} \ge x - 5 \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x - 5 < 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge (x - 5)^2 \end{cases} \end{array} \right.$

1. Решим первую систему:

$\begin{cases} x - 5 < 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство: $x < 5$.

Второе неравенство: $x^2 - 8x + 12 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Так как парабола $y = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $x < 5$ и $x \in (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$. Пересечением этих множеств является промежуток $(-\infty, 2]$.

2. Решим вторую систему:

$\begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge (x - 5)^2 \end{cases}$

Первое неравенство: $x \ge 5$.

Второе неравенство:
$x^2 - 8x + 12 \ge x^2 - 10x + 25$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:
$-8x + 10x \ge 25 - 12$
$2x \ge 13$
$x \ge \frac{13}{2}$
$x \ge 6.5$

Найдем пересечение решений системы: $x \ge 5$ и $x \ge 6.5$. Пересечением является промежуток $[6.5, \infty)$.

3. Объединение решений

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух систем:

$(-\infty, 2] \cup [6.5, \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [6.5, \infty)$.

Решите неравенство (176–184):

176 a) $log_{0,5}(3 - 2x) > -log_{0,5}3;$

б) $log_{2}(2x - 5) < -log_{2}3.$

a)

Дано неравенство $ \log_{0,5}(3 - 2x) > -\log_{0,5} 3 $.

1. Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 3 - 2x > 0 $

Решаем это неравенство:

$ -2x > -3 $

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$ x < \frac{3}{2} $

Итак, ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1,5) $.

2. Преобразуем правую часть исходного неравенства, используя свойство логарифма $ k \log_a b = \log_a (b^k) $:

$ -\log_{0,5} 3 = \log_{0,5} (3^{-1}) = \log_{0,5} \frac{1}{3} $

Теперь неравенство имеет вид:

$ \log_{0,5}(3 - 2x) > \log_{0,5} \frac{1}{3} $

3. Основание логарифма $ a = 0,5 $. Так как $ 0 < 0,5 < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{0,5} t $ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ 3 - 2x < \frac{1}{3} $

4. Решим полученное линейное неравенство:

$ 3 - \frac{1}{3} < 2x $

$ \frac{8}{3} < 2x $

$ x > \frac{8}{3 \cdot 2} $

$ x > \frac{4}{3} $

5. Наконец, объединим полученное решение с ОДЗ. Мы должны удовлетворить двум условиям одновременно:

$ \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ x > \frac{4}{3} \end{cases} $

Это соответствует интервалу $ \frac{4}{3} < x < \frac{3}{2} $.

Ответ: $ (\frac{4}{3}; \frac{3}{2}) $

б)

Дано неравенство $ \log_2(2x - 5) < -\log_2 3 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 2x - 5 > 0 $

Решаем это неравенство:

$ 2x > 5 $

$ x > \frac{5}{2} $

Итак, ОДЗ: $ x \in (2,5; +\infty) $.

2. Преобразуем правую часть исходного неравенства, используя свойство логарифма $ k \log_a b = \log_a (b^k) $:

$ -\log_2 3 = \log_2 (3^{-1}) = \log_2 \frac{1}{3} $

Теперь неравенство имеет вид:

$ \log_2(2x - 5) < \log_2 \frac{1}{3} $

3. Основание логарифма $ a = 2 $. Так как $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 t $ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 2x - 5 < \frac{1}{3} $

4. Решим полученное линейное неравенство:

$ 2x < 5 + \frac{1}{3} $

$ 2x < \frac{15}{3} + \frac{1}{3} $

$ 2x < \frac{16}{3} $

$ x < \frac{16}{3 \cdot 2} $

$ x < \frac{8}{3} $

5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы должны удовлетворить двум условиям одновременно:

$ \begin{cases} x > \frac{5}{2} \\ x < \frac{8}{3} \end{cases} $

Сравним граничные значения: $ \frac{5}{2} = 2,5 $ и $ \frac{8}{3} \approx 2,67 $. Так как $ 2,5 < \frac{8}{3} $, решение существует.

Это соответствует интервалу $ \frac{5}{2} < x < \frac{8}{3} $.

Ответ: $ (\frac{5}{2}; \frac{8}{3}) $