Страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

228 a) $\begin{cases} 2^{y-3} = 8^{x-2} \\ 2 \log_3 (y - x) - \log_3 x = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^y = 4^{x-3} \\ 2 \log_2 (x - y) - \log_2 y = 1 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^{y-3} = 8^{x-2} \\ 2\log_3(y-x) - \log_3 x = 1 \end{cases}$

1. Преобразуем первое уравнение. Приведем обе части к основанию 2, зная, что $8 = 2^3$:

$2^{y-3} = (2^3)^{x-2}$

$2^{y-3} = 2^{3(x-2)}$

$2^{y-3} = 2^{3x-6}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$y - 3 = 3x - 6$

$y = 3x - 3$

2. Преобразуем второе уравнение. Сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$\begin{cases} y-x > 0 \implies y > x \\ x > 0 \end{cases}$

Используя свойства логарифмов $n\log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$, упростим уравнение:

$2\log_3(y-x) - \log_3 x = 1$

$\log_3((y-x)^2) - \log_3 x = 1$

$\log_3\left(\frac{(y-x)^2}{x}\right) = 1$

По определению логарифма ($ \log_b a = c \iff a=b^c $):

$\frac{(y-x)^2}{x} = 3^1$

$(y-x)^2 = 3x$

3. Решим систему, состоящую из преобразованных уравнений:

$\begin{cases} y = 3x - 3 \\ (y-x)^2 = 3x \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$((3x - 3) - x)^2 = 3x$

$(2x - 3)^2 = 3x$

$4x^2 - 12x + 9 = 3x$

$4x^2 - 15x + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

4. Найдем соответствующие значения $y$ и выполним проверку по ОДЗ.

Для $x_1 = 3$, $y_1 = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6$.

Проверка ОДЗ для пары $(3; 6)$: $x > 0 \implies 3 > 0$ (верно) и $y > x \implies 6 > 3$ (верно). Следовательно, решение $(3; 6)$ подходит.

Для $x_2 = \frac{3}{4}$, $y_2 = 3\left(\frac{3}{4}\right) - 3 = \frac{9}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{3}{4}$.

Проверка ОДЗ для пары $(\frac{3}{4}; -\frac{3}{4})$: $x > 0 \implies \frac{3}{4} > 0$ (верно), но $y > x \implies -\frac{3}{4} > \frac{3}{4}$ (неверно). Следовательно, это решение не является решением исходной системы.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(3; 6)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^y = 4^{x-3} \\ 2\log_2(x-y) - \log_2 y = 1 \end{cases}$

1. Преобразуем первое уравнение, приведя обе части к основанию 2, так как $4 = 2^2$:

$2^y = (2^2)^{x-3}$

$2^y = 2^{2(x-3)}$

$2^y = 2^{2x-6}$

Приравниваем показатели степеней:

$y = 2x - 6$

2. Преобразуем второе уравнение. Определим ОДЗ:

$\begin{cases} x-y > 0 \implies x > y \\ y > 0 \end{cases}$

Применим свойства логарифмов:

$2\log_2(x-y) - \log_2 y = 1$

$\log_2((x-y)^2) - \log_2 y = 1$

$\log_2\left(\frac{(x-y)^2}{y}\right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{(x-y)^2}{y} = 2^1$

$(x-y)^2 = 2y$

3. Решим систему из преобразованных уравнений:

$\begin{cases} y = 2x - 6 \\ (x-y)^2 = 2y \end{cases}$

Подставим $y$ из первого уравнения во второе:

$(x - (2x - 6))^2 = 2(2x - 6)$

$(x - 2x + 6)^2 = 4x - 12$

$(-x + 6)^2 = 4x - 12$

$x^2 - 12x + 36 = 4x - 12$

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 16, а их произведение - 48. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = 12$.

4. Найдем соответствующие значения $y$ и проверим их по ОДЗ.

Для $x_1 = 4$, $y_1 = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$.

Проверка ОДЗ для пары $(4; 2)$: $y > 0 \implies 2 > 0$ (верно) и $x > y \implies 4 > 2$ (верно). Решение $(4; 2)$ подходит.

Для $x_2 = 12$, $y_2 = 2(12) - 6 = 24 - 6 = 18$.

Проверка ОДЗ для пары $(12; 18)$: $y > 0 \implies 18 > 0$ (верно), но $x > y \implies 12 > 18$ (неверно). Это решение не подходит.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(4; 2)$.

229 a) $\begin{cases} \left( \frac{1}{4} \right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_3^3 y = 504 \\ 4^x - 2^{x-1} \log_{\sqrt{3}} y + \log_3^2 y = 84; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \left( \frac{1}{9} \right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_2^3 y = 702 \\ 9^x - 3^{x-1} \log_{3\sqrt{2}} y + \log_2^2 y = 117. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_3^3 y = 504 \\ 4^x - 2^{x-1} \log_{\sqrt{3}} y + \log_3^2 y = 84 \end{cases} $$ Преобразуем каждое уравнение системы.

Первое уравнение: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3x}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{3x}{2}} = 4^{\frac{3x}{2}} = (2^2)^{\frac{3x}{2}} = 2^{3x} = (2^x)^3 $$ Уравнение принимает вид: $$ (2^x)^3 + (\log_3 y)^3 = 504 $$

Второе уравнение: $$ 4^x = (2^x)^2 $$ $$ 2^{x-1} = \frac{2^x}{2} $$ $$ \log_{\sqrt{3}} y = \log_{3^{1/2}} y = \frac{1}{1/2}\log_3 y = 2\log_3 y $$ Подставим преобразованные выражения в уравнение: $$ (2^x)^2 - \frac{2^x}{2} \cdot (2\log_3 y) + (\log_3 y)^2 = 84 $$ $$ (2^x)^2 - 2^x \log_3 y + (\log_3 y)^2 = 84 $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = \log_3 y$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^3 + b^3 = 504 \\ a^2 - ab + b^2 = 84 \end{cases} $$ Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставив в нее известные значения, получим: $$ (a+b) \cdot 84 = 504 $$ $$ a+b = \frac{504}{84} = 6 $$ Теперь мы имеем более простую систему: $$ \begin{cases} a+b = 6 \\ a^2 - ab + b^2 = 84 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $a = 6 - b$ и подставим во второе: $$ (6-b)^2 - (6-b)b + b^2 = 84 $$ $$ (36 - 12b + b^2) - (6b - b^2) + b^2 = 84 $$ $$ 3b^2 - 18b + 36 = 84 $$ $$ 3b^2 - 18b - 48 = 0 $$ Разделим уравнение на 3: $$ b^2 - 6b - 16 = 0 $$ По теореме Виета, корни уравнения: $b_1 = 8$ и $b_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$:

• Если $b_1 = 8$, то $a_1 = 6 - 8 = -2$.
• Если $b_2 = -2$, то $a_2 = 6 - (-2) = 8$.

Таким образом, мы получили две пары решений $(a;b)$: $(-2; 8)$ и $(8; -2)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Область допустимых значений для $y$ определяется из логарифма: $y > 0$.
Случай 1: $a = -2$, $b = 8$.
$2^x = -2$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как показательная функция $2^x$ всегда положительна.
Случай 2: $a = 8$, $b = -2$.
$2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x=3$.
$\log_3 y = -2 \Rightarrow y = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Значение $y = 1/9$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Ответ: $(3; 1/9)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3x}{2}} + \log_2^3 y = 702 \\ 9^x - 3^{x-1} \log_{3\sqrt{2}} y + \log_2^2 y = 117 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: $$ \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3x}{2}} = (9^{-1})^{-\frac{3x}{2}} = 9^{\frac{3x}{2}} = (3^2)^{\frac{3x}{2}} = 3^{3x} = (3^x)^3 $$ Уравнение принимает вид: $$ (3^x)^3 + (\log_2 y)^3 = 702 $$

Введем замену переменных: $a = 3^x$ и $b = \log_2 y$. Первое уравнение в новых переменных: $a^3 + b^3 = 702$. Второе уравнение: $9^x - 3^{x-1} \log_{3\sqrt{2}} y + \log_2^2 y = 117$ или $(3^x)^2 - \frac{3^x}{3} \log_{3\sqrt{2}} y + (\log_2 y)^2 = 117$. В новых переменных: $a^2 - \frac{a}{3} \log_{3\sqrt{2}} y + b^2 = 117$.

Структура этой системы аналогична пункту а). Отношение свободных членов также равно $6$ ($702/117 = 6$). Это позволяет предположить, что во втором уравнении допущена опечатка, и оно должно приводиться к виду $a^2 - ab + b^2 = 117$. Для этого средний член $-3^{x-1} \log_{B} y$ должен быть равен $-ab = -3^x \log_2 y$. Это бы выполнялось, если бы основание логарифма было $B = \sqrt[3]{2}$, а не $3\sqrt{2}$.

Принимая во внимание вероятную опечатку, будем решать скорректированную систему: $$ \begin{cases} a^3 + b^3 = 702 \\ a^2 - ab + b^2 = 117 \end{cases} $$ Используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, получаем: $$ (a+b) \cdot 117 = 702 $$ $$ a+b = \frac{702}{117} = 6 $$ Снова решаем систему: $$ \begin{cases} a+b = 6 \\ a^2 - ab + b^2 = 117 \end{cases} $$ Из первого уравнения $a = 6 - b$. Подставляем во второе: $$ (6-b)^2 - (6-b)b + b^2 = 117 $$ $$ (36 - 12b + b^2) - (6b - b^2) + b^2 = 117 $$ $$ 3b^2 - 18b + 36 = 117 $$ $$ 3b^2 - 18b - 81 = 0 $$ Разделим уравнение на 3: $$ b^2 - 6b - 27 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$. $b_{1,2} = \frac{6 \pm 12}{2}$. $b_1 = \frac{18}{2} = 9$, $b_2 = \frac{-6}{2} = -3$.

Найдем соответствующие значения $a$:

• Если $b_1 = 9$, то $a_1 = 6 - 9 = -3$.
• Если $b_2 = -3$, то $a_2 = 6 - (-3) = 9$.

Мы получили две пары решений $(a;b)$: $(-3; 9)$ и $(9; -3)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Область допустимых значений: $y > 0$.
Случай 1: $a = -3$, $b = 9$.
$3^x = -3$. Уравнение не имеет действительных корней ($3^x > 0$).
Случай 2: $a = 9$, $b = -3$.
$3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x=2$.
$\log_2 y = -3 \Rightarrow y = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Значение $y = 1/8$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Ответ: $(2; 1/8)$.

230 $\begin{cases} |x+y| + \log_2^2(|x|-y+5) - 12 = 0 \\ (x+y)^2 - 5(x+y) \cdot \log_2(|x|-y+5) + 4\log_2^2(|x|-y+5) = 0. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений введем замену переменных. Исходная система:

$$ \begin{cases} |x+y| + \log_2^2(|x|-y+5) - 12 = 0 \\ (x+y)^2 - 5(x+y)\log_2(|x|-y+5) + 4\log_2^2(|x|-y+5) = 0 \end{cases} $$

Заметим, что $(x+y)^2 = |x+y|^2$. Сделаем замену:

Пусть $a = |x+y|$ и $b = \log_2(|x|-y+5)$.

По определению модуля $a \ge 0$. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, т.е. $|x|-y+5 > 0$.

С новыми переменными система уравнений принимает вид:

$$ \begin{cases} a + b^2 - 12 = 0 \\ a^2 - 5ab + 4b^2 = 0 \end{cases} $$

Второе уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $a$ и $b$. Разложим его левую часть на множители:

$a^2 - ab - 4ab + 4b^2 = 0$

$a(a-b) - 4b(a-b) = 0$

$(a-b)(a-4b) = 0$

Отсюда следует, что либо $a=b$, либо $a=4b$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a=b$

Подставим $a=b$ в первое уравнение $a + b^2 - 12 = 0$:

$b + b^2 - 12 = 0 \implies b^2 + b - 12 = 0$.

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $b_1 = 3$ и $b_2 = -4$.

Если $b = -4$, то $a = b = -4$. Это противоречит условию $a \ge 0$, поэтому данное решение для пары $(a,b)$ не подходит.

Если $b = 3$, то $a = b = 3$. Это решение удовлетворяет условию $a \ge 0$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$ для найденной пары $(a,b)=(3,3)$:

$$ \begin{cases} |x+y| = 3 \\ \log_2(|x|-y+5) = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем: $|x|-y+5 = 2^3 = 8$, откуда $|x|-y=3$, то есть $y = |x|-3$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$|x + (|x|-3)| = 3 \implies |x+|x|-3| = 3$.

Далее рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $x$.

1.1. Если $x \ge 0$, то $|x|=x$. Уравнение принимает вид $|x+x-3|=3$, то есть $|2x-3|=3$. Это уравнение эквивалентно двум: $2x-3=3$ или $2x-3=-3$. В первом случае $2x=6$, $x=3$. Тогда $y=x-3=3-3=0$. Получаем решение $(3,0)$. Во втором случае $2x=0$, $x=0$. Тогда $y=x-3=0-3=-3$. Получаем решение $(0,-3)$.

1.2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$. Уравнение принимает вид $|x+(-x)-3|=3$, то есть $|-3|=3$. Это верное равенство, которое выполняется для любого $x < 0$. Это означает, что все пары $(x,y)$, где $x<0$ и $y=|x|-3=-x-3$, являются решениями системы.

Объединяя результаты для $x \ge 0$ и $x < 0$, получаем, что решениями в первом случае являются точка $(3,0)$ и все точки на луче $y = -x - 3$ при $x \le 0$ (этот луч включает в себя точку $(0,-3)$).

Случай 2: $a=4b$

Подставим $a=4b$ в первое уравнение $a + b^2 - 12 = 0$:

$4b + b^2 - 12 = 0 \implies b^2 + 4b - 12 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $b_1 = 2$ и $b_2 = -6$.

Если $b = -6$, то $a = 4b = 4(-6) = -24$. Это решение не подходит, так как $a \ge 0$.

Если $b = 2$, то $a = 4b = 4(2) = 8$. Это решение подходит.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$ для пары $(a,b)=(8,2)$:

$$ \begin{cases} |x+y| = 8 \\ \log_2(|x|-y+5) = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения: $|x|-y+5 = 2^2 = 4$, откуда $|x|-y=-1$, то есть $y = |x|+1$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$|x + (|x|+1)| = 8 \implies |x+|x|+1| = 8$.

2.1. Если $x \ge 0$, то $|x|=x$. Уравнение принимает вид $|x+x+1|=8$, то есть $|2x+1|=8$. Так как $x \ge 0$, то $2x+1 > 0$, поэтому $2x+1=8$. Отсюда $2x=7$ и $x=3.5$. Тогда $y=|x|+1=3.5+1=4.5$. Получаем решение $(3.5, 4.5)$.

2.2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$. Уравнение принимает вид $|x+(-x)+1|=8$, то есть $|1|=8$. Это неверное равенство, поэтому в этом подслучае решений нет.

Проверим, что для всех найденных решений выполняется условие области определения логарифма $|x|-y+5>0$.

Для $(3,0)$: $|3|-0+5 = 8 > 0$.

Для $y=-x-3, x \le 0$: $|x|-(-x-3)+5 = -x+x+3+5 = 8 > 0$.

Для $(3.5, 4.5)$: $|3.5|-4.5+5 = 4 > 0$.

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3,0)$; $(3.5, 4.5)$; все пары чисел $(x,y)$, удовлетворяющие условию $y=-x-3$ при $x \le 0$.

231 a) $\begin{cases} \log_2 \sqrt{y} = -3^{1-x} \\ 3^x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3 \sin x + \cos y = 0 \\ 6 \cos x - 2 \sin y = 7. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2 \sqrt{y} = -3^{1-x} \\ 3^x + \log_2 y = 1 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условием подкоренного и подлогарифмического выражения, что в данном случае сводится к $y > 0$.

Упростим первое уравнение системы, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$:

$$ \log_2 y^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2 y $$

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$$ \frac{1}{2} \log_2 y = -3^{1-x} $$

Выразим отсюда $\log_2 y$:

$$ \log_2 y = -2 \cdot 3^{1-x} = -2 \cdot \frac{3}{3^x} = -\frac{6}{3^x} $$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ 3^x + \left(-\frac{6}{3^x}\right) = 1 $$ $$ 3^x - \frac{6}{3^x} = 1 $$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$$ t - \frac{6}{t} = 1 $$

Умножим обе части на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$$ t^2 - 6 = t $$ $$ t^2 - t - 6 = 0 $$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Согласно условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Следовательно, единственное решение для $t$ это $t = 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$$ 3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1 $$

Найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $\log_2 y$:

$$ \log_2 y = -\frac{6}{3^1} = -2 $$

По определению логарифма:

$$ y = 2^{-2} = \frac{1}{4} $$

Полученное значение $y = 1/4$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Таким образом, решение системы: $(1; 1/4)$.

Ответ: $(1; 1/4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3 \sin x + \cos y = 0 \\ 6 \cos x - 2 \sin y = 7 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $\cos y$, а из второго $\sin y$:

$$ \cos y = -3 \sin x $$ $$ 2 \sin y = 6 \cos x - 7 \implies \sin y = 3 \cos x - \frac{7}{2} $$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и подставим в него полученные выражения:

$$ \left(3 \cos x - \frac{7}{2}\right)^2 + (-3 \sin x)^2 = 1 $$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$$ 9\cos^2 x - 2 \cdot 3\cos x \cdot \frac{7}{2} + \frac{49}{4} + 9\sin^2 x = 1 $$ $$ 9\cos^2 x - 21\cos x + \frac{49}{4} + 9\sin^2 x = 1 $$

Сгруппируем слагаемые, используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$ 9(\cos^2 x + \sin^2 x) - 21\cos x + \frac{49}{4} = 1 $$ $$ 9 - 21\cos x + \frac{49}{4} = 1 $$

Решим полученное уравнение относительно $\cos x$:

$$ -21\cos x = 1 - 9 - \frac{49}{4} $$ $$ -21\cos x = -8 - \frac{49}{4} = -\frac{32+49}{4} = -\frac{81}{4} $$ $$ \cos x = \frac{81}{4 \cdot 21} = \frac{27}{28} $$

Теперь, зная $\cos x$, найдем $\sin y$:

$$ \sin y = 3\left(\frac{27}{28}\right) - \frac{7}{2} = \frac{81}{28} - \frac{98}{28} = -\frac{17}{28} $$

Найдем возможные значения для $\sin x$:

$$ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{27}{28}\right)^2 = \frac{28^2 - 27^2}{28^2} = \frac{(28-27)(28+27)}{784} = \frac{55}{784} $$ $$ \sin x = \pm\frac{\sqrt{55}}{28} $$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\sin x = \frac{\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\cos x = \frac{27}{28} > 0$ и $\sin x > 0$, угол $x$ находится в первой координатной четверти. Решения для $x$:

$$ x = \arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

При этом $\cos y = -3\sin x = -\frac{3\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\sin y = -\frac{17}{28} < 0$ и $\cos y < 0$, угол $y$ находится в третьей координатной четверти. Решения для $y$:

$$ y = \pi + \arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Случай 2: $\sin x = -\frac{\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\cos x = \frac{27}{28} > 0$ и $\sin x < 0$, угол $x$ находится в четвертой координатной четверти. Решения для $x$:

$$ x = -\arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

При этом $\cos y = -3\sin x = -3\left(-\frac{\sqrt{55}}{28}\right) = \frac{3\sqrt{55}}{28}$.

Так как $\sin y = -\frac{17}{28} < 0$ и $\cos y > 0$, угол $y$ находится в четвертой координатной четверти. Решения для $y$:

$$ y = -\arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $\left(\arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, \pi + \arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n\right)$; $\left(-\arccos\left(\frac{27}{28}\right) + 2\pi k, -\arcsin\left(\frac{17}{28}\right) + 2\pi n\right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

232 $\begin{cases} |\sin y| \sin y = \frac{|\cos x|}{\cos x} \\ |\cos x - 1|^2 + |\sin y|^2 = 4. \end{cases}$

Проанализируем данную систему уравнений:

$\begin{cases}\sin y |\sin y| = \frac{|\cos x|}{\cos x} \\|\cos x - 1|^2 + |\sin y|^2 = 4\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Оно определено при $\cos x \neq 0$. Выражение в правой части, $\frac{|\cos x|}{\cos x}$, равно $1$ при $\cos x > 0$ и $-1$ при $\cos x < 0$.

Выражение в левой части, $\sin y |\sin y|$, равно $\sin^2 y$ при $\sin y \ge 0$ и $-\sin^2 y$ при $\sin y < 0$. Так как правая часть не может быть равна нулю, то $\sin y \neq 0$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x > 0$

Первое уравнение принимает вид $\sin y |\sin y| = 1$. Это означает, что $\sin y > 0$ и $\sin^2 y = 1$, откуда следует $\sin y = 1$.

Подставим это значение во второе уравнение: $|\cos x - 1|^2 + |1|^2 = 4$.

Поскольку $|a|^2 = a^2$ для любого действительного числа $a$, уравнение можно переписать как $(\cos x - 1)^2 + 1 = 4$, или $(\cos x - 1)^2 = 3$.

Отсюда $\cos x - 1 = \sqrt{3}$ или $\cos x - 1 = -\sqrt{3}$. Получаем два возможных значения для $\cos x$: $\cos x = 1 + \sqrt{3}$ и $\cos x = 1 - \sqrt{3}$.

Первое значение $\cos x = 1 + \sqrt{3}$ больше $1$, поэтому оно невозможно. Второе значение $\cos x = 1 - \sqrt{3}$ является отрицательным, что противоречит условию данного случая ($\cos x > 0$).

Таким образом, в первом случае решений нет.

Случай 2: $\cos x < 0$

Первое уравнение принимает вид $\sin y |\sin y| = -1$. Это означает, что $\sin y < 0$ и $-\sin^2 y = -1$, что равносильно $\sin^2 y = 1$. Учитывая, что $\sin y < 0$, получаем $\sin y = -1$.

Подставим это значение во второе уравнение: $|\cos x - 1|^2 + |-1|^2 = 4$.

Упрощая, получаем $(\cos x - 1)^2 + 1 = 4$, или $(\cos x - 1)^2 = 3$.

Это снова приводит к двум возможным значениям для $\cos x$: $\cos x = 1 + \sqrt{3}$ (невозможно) и $\cos x = 1 - \sqrt{3}$.

Значение $\cos x = 1 - \sqrt{3}$ является отрицательным ($1 - \sqrt{3} \approx -0.732$), что соответствует условию данного случая ($\cos x < 0$).

Следовательно, решения системы должны удовлетворять следующим условиям:

$\cos x = 1 - \sqrt{3}$

$\sin y = -1$

Находим общие решения для $x$ и $y$.

Из $\sin y = -1$ следует $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos x = 1 - \sqrt{3}$ следует $x = \pm \arccos(1 - \sqrt{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(1 - \sqrt{3}) + 2\pi n, y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

233 $\frac{xy}{2} + \frac{5}{2x + y - xy} = 5$

$2x + y + \frac{10}{xy} = 4 + xy.$

Данная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{xy}{2} + \frac{5}{2x + y - xy} = 5 \\ 2x + y + \frac{10}{xy} = 4 + xy \end{cases} $

Для решения этой системы введем замену переменных, чтобы упростить уравнения. Пусть $a = xy$ и $b = 2x + y$. С учетом замены исходная система примет вид: $ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{5}{b - a} = 5 \\ b + \frac{10}{a} = 4 + a \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $xy \neq 0 \implies a \neq 0$ и $2x + y - xy \neq 0 \implies b - a \neq 0$.

Решим полученную систему относительно $a$ и $b$. Выразим $b$ из второго уравнения: $b = a + 4 - \frac{10}{a}$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы: $\frac{a}{2} + \frac{5}{(a + 4 - \frac{10}{a}) - a} = 5$.

Упростим знаменатель дроби в левой части: $\frac{a}{2} + \frac{5}{4 - \frac{10}{a}} = 5$, что равносильно $\frac{a}{2} + \frac{5}{\frac{4a - 10}{a}} = 5$, или $\frac{a}{2} + \frac{5a}{4a - 10} = 5$.

Теперь решим это уравнение относительно $a$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2(4a - 10) = 4(2a - 5)$, при условии что $a \neq \frac{5}{2}$: $a(2a - 5) + 5a = 10(2a - 5)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2a^2 - 5a + 5a = 20a - 50$ $2a^2 = 20a - 50$ $2a^2 - 20a + 50 = 0$.

Разделим обе части на 2: $a^2 - 10a + 25 = 0$.

Это уравнение является полным квадратом: $(a - 5)^2 = 0$. Отсюда находим единственное значение $a$: $a = 5$.

Найденное значение $a=5$ удовлетворяет ОДЗ ($a \neq 0$ и $a \neq \frac{5}{2}$). Теперь найдем значение $b$, используя ранее полученное выражение: $b = a + 4 - \frac{10}{a} = 5 + 4 - \frac{10}{5} = 9 - 2 = 7$.

Проверим условие $b - a \neq 0$: $7 - 5 = 2 \neq 0$. Условие выполняется.

Итак, мы нашли значения для наших вспомогательных переменных: $a=5$ и $b=7$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив систему: $ \begin{cases} xy = 5 \\ 2x + y = 7 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 2x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x(7 - 2x) = 5$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $7x - 2x^2 = 5$ $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. $x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя формулу $y = 7 - 2x$.

Для $x_1 = 1$, получаем $y_1 = 7 - 2(1) = 7 - 2 = 5$. Первая пара решений: $(1; 5)$.

Для $x_2 = \frac{5}{2}$, получаем $y_2 = 7 - 2(\frac{5}{2}) = 7 - 5 = 2$. Вторая пара решений: $(\frac{5}{2}; 2)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 5)$, $(\frac{5}{2}; 2)$.

234 $\begin{cases}9 \cdot 2^x \cdot 5^y - 5 \cdot 3^y + x = 3^x \cdot 5^y \\2^{x-2} \cdot 3^{y-x+1} \cdot 5^{1-y} = 1\end{cases}$

234

Дана система показательных уравнений: $$ \begin{cases} 9 \cdot 2^x \cdot 5^y - 5 \cdot 3^{y+x} = 3^x \cdot 5^y \\ 2^{x-2} \cdot 3^{y-x+1} \cdot 5^{1-y} = 1 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Учитывая, что $9 = 3^2$ и $3^{y+x} = 3^y \cdot 3^x$, перепишем уравнение: $$3^2 \cdot 2^x \cdot 5^y - 5 \cdot 3^y \cdot 3^x = 3^x \cdot 5^y$$ Разделим обе части уравнения на выражение $3^x \cdot 5^y$. Так как показательные функции всегда положительны ($3^x > 0$ и $5^y > 0$), это преобразование является равносильным. $$\frac{9 \cdot 2^x \cdot 5^y}{3^x \cdot 5^y} - \frac{5 \cdot 3^y \cdot 3^x}{3^x \cdot 5^y} = \frac{3^x \cdot 5^y}{3^x \cdot 5^y}$$ После сокращения получаем: $$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^y = 1$$

Теперь преобразуем второе уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$: $$2^{x-2} \cdot 3^{y-x+1} \cdot 5^{1-y} = 1$$ $$\frac{2^x}{2^2} \cdot \frac{3^y \cdot 3^1}{3^x} \cdot \frac{5^1}{5^y} = 1$$ Сгруппируем множители: $$\frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{2^x}{3^x} \cdot \frac{3^y}{5^y} = 1$$ $$\frac{15}{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^y = 1$$

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $a = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ и $b = \left(\frac{3}{5}\right)^y$. Поскольку основания степеней положительны, то $a > 0$ и $b > 0$. После замены система уравнений принимает вид: $$ \begin{cases} 9a - 5b = 1 \\ \frac{15}{4} ab = 1 \end{cases} $$

Решим полученную алгебраическую систему. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $$5b = 9a - 1 \implies b = \frac{9a - 1}{5}$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$\frac{15}{4} a \left(\frac{9a - 1}{5}\right) = 1$$ Упростим уравнение: $$\frac{3}{4} a (9a - 1) = 1$$ $$27a^2 - 3a - 4 = 0$$ Получили квадратное уравнение для $a$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-4) = 9 + 432 = 441 = 21^2$$ Корни уравнения: $$a_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{3 + 21}{2 \cdot 27} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9}$$ $$a_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{3 - 21}{2 \cdot 27} = \frac{-18}{54} = -\frac{1}{3}$$ Условию $a > 0$ удовлетворяет только корень $a_1 = \frac{4}{9}$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$. Найдем $x$ из $a = \left(\frac{2}{3}\right)^x$: $$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{4}{9} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^2$$ Следовательно, $x=2$.

Найдем соответствующее значение $b$ при $a = 4/9$: $$b = \frac{9a - 1}{5} = \frac{9 \cdot (4/9) - 1}{5} = \frac{4 - 1}{5} = \frac{3}{5}$$ Найдем $y$ из $b = \left(\frac{3}{5}\right)^y$: $$\left(\frac{3}{5}\right)^y = \frac{3}{5} \implies \left(\frac{3}{5}\right)^y = \left(\frac{3}{5}\right)^1$$ Следовательно, $y=1$.

Решением системы является пара чисел $(2, 1)$. Выполним проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения.

Для первого уравнения: $9 \cdot 2^2 \cdot 5^1 - 5 \cdot 3^{1+2} = 3^2 \cdot 5^1$. Левая часть: $9 \cdot 4 \cdot 5 - 5 \cdot 27 = 180 - 135 = 45$. Правая часть: $9 \cdot 5 = 45$. Равенство $45 = 45$ верно.

Для второго уравнения: $2^{2-2} \cdot 3^{1-2+1} \cdot 5^{1-1} = 1$. Левая часть: $2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $(2, 1)$.

235 Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} \frac{7x}{3} - \frac{11(x+3)}{6} \ge \frac{3x-1}{5} - \frac{13-x}{2} \\ (1-x)^2 \le (x+5)(x-1) \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \sqrt{3 + \frac{15}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{5}{51-3x}} > -2 \\ \sqrt{x^2 - 3x - 10} \le 2x + 4 \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{7x}{3} - \frac{11(x+3)}{6} \ge \frac{3x-1}{5} - \frac{13-x}{2} \\ (1-x)^2 \le (x+5)(x-1) \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{7x}{3} - \frac{11(x+3)}{6} \ge \frac{3x-1}{5} - \frac{13-x}{2} $

Приведем все дроби к общему знаменателю 30, умножив обе части неравенства на 30:

$ 10 \cdot 7x - 5 \cdot 11(x+3) \ge 6(3x-1) - 15(13-x) $

$ 70x - 55x - 165 \ge 18x - 6 - 195 + 15x $

$ 15x - 165 \ge 33x - 201 $

$ 201 - 165 \ge 33x - 15x $

$ 36 \ge 18x $

$ 2 \ge x $, то есть $ x \le 2 $.

Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, 2] $.

2. Решим второе неравенство:

$ (1-x)^2 \le (x+5)(x-1) $

Раскроем скобки. Заметим, что $ (1-x)^2 = (x-1)^2 $:

$ (x-1)^2 \le (x+5)(x-1) $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ (x-1) $:

$ (x-1)^2 - (x+5)(x-1) \le 0 $

$ (x-1)((x-1) - (x+5)) \le 0 $

$ (x-1)(x-1-x-5) \le 0 $

$ (x-1)(-6) \le 0 $

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x-1 \ge 0 $

$ x \ge 1 $

Решение второго неравенства: $ x \in [1, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решением системы является пересечение множеств $ (-\infty, 2] $ и $ [1, \infty) $, что соответствует промежутку $ [1, 2] $.

Ответ: $ [1, 2] $.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \sqrt{3+\frac{15}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{5}{51-3x}} > -2 \\ \sqrt{x^2-3x-10} \le 2x+4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \sqrt{3+\frac{15}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{5}{51-3x}} > -2 $

Упростим подкоренные выражения:

$ 3+\frac{15}{12-x} = \frac{3(12-x)+15}{12-x} = \frac{36-3x+15}{12-x} = \frac{51-3x}{12-x} $

$ \frac{1}{3}-\frac{5}{51-3x} = \frac{1}{3}-\frac{5}{3(17-x)} = \frac{17-x-5}{3(17-x)} = \frac{12-x}{51-3x} $

Неравенство принимает вид:

$ \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{12-x}{51-3x}} > -2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Это равносильно условию $ \frac{51-3x}{12-x} > 0 $, то есть $ \frac{3(17-x)}{12-x} > 0 $. Методом интервалов получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty, 12) \cup (17, \infty) $.

Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}} $. На ОДЗ $ y > 0 $.

Неравенство переписывается как $ y - \frac{8}{y} > -2 $.

Так как $ y>0 $, умножим на $ y $: $ y^2 - 8 > -2y \implies y^2 + 2y - 8 > 0 \implies (y+4)(y-2) > 0 $.

Поскольку $ y>0 $, множитель $ (y+4) $ всегда положителен. Следовательно, $ y-2 > 0 $, откуда $ y > 2 $.

Возвращаемся к исходной переменной:

$ \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}} > 2 $

Возведем в квадрат обе части: $ \frac{51-3x}{12-x} > 4 \implies \frac{51-3x - 4(12-x)}{12-x} > 0 \implies \frac{x+3}{12-x} > 0 $.

Методом интервалов получаем $ x \in (-3, 12) $. Пересекая с ОДЗ, получаем решение первого неравенства: $ x \in (-3, 12) $.

2. Решим второе неравенство:

$ \sqrt{x^2-3x-10} \le 2x+4 $

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2-3x-10 \ge 0 \\ 2x+4 \ge 0 \\ x^2-3x-10 \le (2x+4)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

а) $ x^2-3x-10 \ge 0 \implies (x-5)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty) $.

б) $ 2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2 $.

в) $ x^2-3x-10 \le 4x^2+16x+16 \implies 3x^2+19x+26 \ge 0 $. Корни уравнения $ 3x^2+19x+26=0 $ равны $ x_1 = -13/3 $ и $ x_2 = -2 $. Значит, $ x \in (-\infty, -13/3] \cup [-2, \infty) $.

Найдем пересечение решений трех неравенств. Пересечение решений а) и б) дает $ \{-2\} \cup [5, \infty) $. Пересечение этого множества с решением в) также дает $ \{-2\} \cup [5, \infty) $.

Решение второго неравенства: $ x \in \{-2\} \cup [5, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств системы б):

Нам нужно найти пересечение множеств $ (-3, 12) $ и $ \{-2\} \cup [5, \infty) $.

Число -2 входит в интервал $ (-3, 12) $, поэтому $ x=-2 $ является решением.

Пересечение интервалов $ (-3, 12) $ и $ [5, \infty) $ есть $ [5, 12) $.

Объединяя результаты, получаем решение системы.

Ответ: $ \{-2\} \cup [5, 12) $.

236 Решите систему (236-237):

а) $\begin{cases} 2^{x+2} = \frac{49}{4}x^2 + 4 \\ 2^{x+2} - 4 \le x^2(14 - 2^{x+2}) \cdot 2^x \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^{x+1} = \frac{49}{3}x^2 + 3 \\ 3^{x+1} - 3 \le x^2(14 - 3^{x+1}) \cdot 3^x \end{cases}$

а)

Дана система:

$$ \begin{cases} 2^{x+2} = \frac{49}{4}x^2 + 4 \quad (1) \\ 2^{x+2} - 4 \le x^2(14 - 2^{x+2}) \cdot 2^x \quad (2) \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Выразим $x^2$:

$$ 2^{x+2} - 4 = \frac{49}{4}x^2 $$

$$ x^2 = \frac{4}{49}(2^{x+2} - 4) $$

Поскольку $x^2 \ge 0$, то $\frac{4}{49}(2^{x+2} - 4) \ge 0$, что означает $2^{x+2} - 4 \ge 0$.

Отсюда $2^{x+2} \ge 4$, то есть $2^{x+2} \ge 2^2$, что влечет за собой $x+2 \ge 2$, и, следовательно, $x \ge 0$.

Теперь преобразуем второе неравенство. Сделаем замену $y = 2^{x+2}$. Заметим, что $2^x = \frac{2^{x+2}}{2^2} = \frac{y}{4}$. Неравенство (2) принимает вид:

$$ y - 4 \le x^2(14 - y) \cdot \frac{y}{4} $$

Подставим в это неравенство выражение для $x^2$, полученное из уравнения (1): $x^2 = \frac{4}{49}(y - 4)$.

$$ y - 4 \le \frac{4}{49}(y - 4)(14 - y) \cdot \frac{y}{4} $$

$$ y - 4 \le \frac{1}{49}(y - 4)y(14 - y) $$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$ (y - 4) - \frac{1}{49}(y - 4)y(14 - y) \le 0 $$

Вынесем общий множитель $(y - 4)$:

$$ (y - 4) \left(1 - \frac{y(14 - y)}{49}\right) \le 0 $$

$$ (y - 4) \left(\frac{49 - 14y + y^2}{49}\right) \le 0 $$

$$ \frac{1}{49}(y - 4)(y - 7)^2 \le 0 $$

Мы ранее установили, что $y-4 = 2^{x+2}-4 \ge 0$. Квадрат любого числа $(y-7)^2$ также неотрицателен. Множитель $\frac{1}{49}$ положителен. Произведение трех неотрицательных множителей будет меньше или равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Следовательно, возможны два случая:

1. $y - 4 = 0 \implies y = 4$.

Возвращаемся к замене: $2^{x+2} = 4 \implies 2^{x+2} = 2^2 \implies x+2 = 2 \implies x = 0$. Проверим, является ли $x=0$ решением исходной системы. Уравнение (1): $2^{0+2} = 4$. $\frac{49}{4}(0)^2 + 4 = 4$. $4=4$. Верно. Неравенство (2): $2^{0+2} - 4 \le 0^2(14 - 2^{0+2}) \cdot 2^0 \implies 4 - 4 \le 0 \implies 0 \le 0$. Верно. Значит, $x=0$ является решением системы.

2. $(y - 7)^2 = 0 \implies y = 7$.

Возвращаемся к замене: $2^{x+2} = 7$. Подставим $y=7$ в выражение для $x^2$ из уравнения (1): $x^2 = \frac{4}{49}(7 - 4) = \frac{4}{49} \cdot 3 = \frac{12}{49}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{12}{49}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{7}$. Поскольку мы установили, что $x \ge 0$, то $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$. Для того чтобы это значение $x$ было решением, оно должно удовлетворять обоим условиям: $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $2^{x+2} = 7$. Проверим, верно ли равенство $2^{\frac{2\sqrt{3}}{7}+2} = 7$. Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей: $\frac{2\sqrt{3}}{7} + 2 = \log_2 7$, что эквивалентно $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_2 7 - 2 = \log_2(7/4)$. Сравним значения $\frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $\log_2(7/4)$. Так как $(2\sqrt{3})^2=12$ и $7^2=49$, то $(\frac{2\sqrt{3}}{7})^2 = \frac{12}{49} < \frac{1}{4}$, следовательно $\frac{2\sqrt{3}}{7} < \frac{1}{2}$. С другой стороны, $7/4 = 1.75$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$. Так как $1.75 > \sqrt{2}$, то $\log_2(1.75) > \log_2(\sqrt{2}) = 1/2$. Поскольку $\frac{2\sqrt{3}}{7} < 1/2$ и $\log_2(7/4) > 1/2$, равенство $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_2(7/4)$ не выполняется. Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является $x=0$.

Ответ: $x=0$.

б)

Дана система:

$$ \begin{cases} 3^{x+1} = \frac{49}{3}x^2 + 3 \quad (1) \\ 3^{x+1} - 3 \le x^2(14 - 3^{x+1}) \cdot 3^x \quad (2) \end{cases} $$

Решение этой системы аналогично предыдущей. Выразим $x^2$ из первого уравнения:

$$ 3^{x+1} - 3 = \frac{49}{3}x^2 $$

$$ x^2 = \frac{3}{49}(3^{x+1} - 3) $$

Так как $x^2 \ge 0$, то $\frac{3}{49}(3^{x+1} - 3) \ge 0$, что означает $3^{x+1} - 3 \ge 0$.

Отсюда $3^{x+1} \ge 3^1$, что влечет за собой $x+1 \ge 1$, и, следовательно, $x \ge 0$.

Преобразуем второе неравенство. Сделаем замену $z = 3^{x+1}$. Заметим, что $3^x = \frac{3^{x+1}}{3} = \frac{z}{3}$. Неравенство (2) принимает вид:

$$ z - 3 \le x^2(14 - z) \cdot \frac{z}{3} $$

Подставим в это неравенство выражение для $x^2$: $x^2 = \frac{3}{49}(z - 3)$.

$$ z - 3 \le \frac{3}{49}(z - 3)(14 - z) \cdot \frac{z}{3} $$

$$ z - 3 \le \frac{1}{49}(z - 3)z(14 - z) $$

$$ (z - 3) - \frac{1}{49}(z - 3)z(14 - z) \le 0 $$

$$ (z - 3) \left(1 - \frac{z(14 - z)}{49}\right) \le 0 $$

$$ (z - 3) \left(\frac{49 - 14z + z^2}{49}\right) \le 0 $$

$$ \frac{1}{49}(z - 3)(z - 7)^2 \le 0 $$

Мы знаем, что $z-3 = 3^{x+1}-3 \ge 0$. Также $(z-7)^2 \ge 0$. Неравенство может выполняться только если один из неотрицательных множителей равен нулю.

Следовательно, возможны два случая:

1. $z - 3 = 0 \implies z = 3$.

Возвращаемся к замене: $3^{x+1} = 3 \implies 3^{x+1} = 3^1 \implies x+1 = 1 \implies x = 0$. Проверим, является ли $x=0$ решением исходной системы. Уравнение (1): $3^{0+1} = 3$. $\frac{49}{3}(0)^2 + 3 = 3$. $3=3$. Верно. Неравенство (2): $3^{0+1} - 3 \le 0^2(14 - 3^{0+1}) \cdot 3^0 \implies 3 - 3 \le 0 \implies 0 \le 0$. Верно. Значит, $x=0$ является решением системы.

2. $(z - 7)^2 = 0 \implies z = 7$.

Возвращаемся к замене: $3^{x+1} = 7$. Подставим $z=7$ в выражение для $x^2$: $x^2 = \frac{3}{49}(7 - 3) = \frac{3}{49} \cdot 4 = \frac{12}{49}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{12}{49}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{7}$. Так как $x \ge 0$, то $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$. Для того чтобы это значение $x$ было решением, оно должно удовлетворять обоим условиям: $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $3^{x+1} = 7$. Проверим, верно ли равенство $3^{\frac{2\sqrt{3}}{7}+1} = 7$. Возьмем логарифм по основанию 3: $\frac{2\sqrt{3}}{7} + 1 = \log_3 7$, что эквивалентно $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_3 7 - 1 = \log_3(7/3)$. Сравним значения $\frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $\log_3(7/3)$. Как мы уже показали в пункте а), $\frac{2\sqrt{3}}{7} < 1/2$. С другой стороны, $7/3 \approx 2.333$, а $\sqrt{3} \approx 1.732$. Так как $7/3 > \sqrt{3}$, то $\log_3(7/3) > \log_3(\sqrt{3}) = 1/2$. Поскольку $\frac{2\sqrt{3}}{7} < 1/2$ и $\log_3(7/3) > 1/2$, равенство $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_3(7/3)$ не выполняется. Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является $x=0$.

Ответ: $x=0$.