Номер 236, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 236, страница 429.

Условие.

236 Решите систему (236-237):

а) $\begin{cases} 2^{x+2} = \frac{49}{4}x^2 + 4 \\ 2^{x+2} - 4 \le x^2(14 - 2^{x+2}) \cdot 2^x \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^{x+1} = \frac{49}{3}x^2 + 3 \\ 3^{x+1} - 3 \le x^2(14 - 3^{x+1}) \cdot 3^x \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система:

$$ \begin{cases} 2^{x+2} = \frac{49}{4}x^2 + 4 \quad (1) \\ 2^{x+2} - 4 \le x^2(14 - 2^{x+2}) \cdot 2^x \quad (2) \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Выразим $x^2$:

$$ 2^{x+2} - 4 = \frac{49}{4}x^2 $$

$$ x^2 = \frac{4}{49}(2^{x+2} - 4) $$

Поскольку $x^2 \ge 0$, то $\frac{4}{49}(2^{x+2} - 4) \ge 0$, что означает $2^{x+2} - 4 \ge 0$.

Отсюда $2^{x+2} \ge 4$, то есть $2^{x+2} \ge 2^2$, что влечет за собой $x+2 \ge 2$, и, следовательно, $x \ge 0$.

Теперь преобразуем второе неравенство. Сделаем замену $y = 2^{x+2}$. Заметим, что $2^x = \frac{2^{x+2}}{2^2} = \frac{y}{4}$. Неравенство (2) принимает вид:

$$ y - 4 \le x^2(14 - y) \cdot \frac{y}{4} $$

Подставим в это неравенство выражение для $x^2$, полученное из уравнения (1): $x^2 = \frac{4}{49}(y - 4)$.

$$ y - 4 \le \frac{4}{49}(y - 4)(14 - y) \cdot \frac{y}{4} $$

$$ y - 4 \le \frac{1}{49}(y - 4)y(14 - y) $$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$ (y - 4) - \frac{1}{49}(y - 4)y(14 - y) \le 0 $$

Вынесем общий множитель $(y - 4)$:

$$ (y - 4) \left(1 - \frac{y(14 - y)}{49}\right) \le 0 $$

$$ (y - 4) \left(\frac{49 - 14y + y^2}{49}\right) \le 0 $$

$$ \frac{1}{49}(y - 4)(y - 7)^2 \le 0 $$

Мы ранее установили, что $y-4 = 2^{x+2}-4 \ge 0$. Квадрат любого числа $(y-7)^2$ также неотрицателен. Множитель $\frac{1}{49}$ положителен. Произведение трех неотрицательных множителей будет меньше или равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Следовательно, возможны два случая:

1. $y - 4 = 0 \implies y = 4$.

Возвращаемся к замене: $2^{x+2} = 4 \implies 2^{x+2} = 2^2 \implies x+2 = 2 \implies x = 0$. Проверим, является ли $x=0$ решением исходной системы. Уравнение (1): $2^{0+2} = 4$. $\frac{49}{4}(0)^2 + 4 = 4$. $4=4$. Верно. Неравенство (2): $2^{0+2} - 4 \le 0^2(14 - 2^{0+2}) \cdot 2^0 \implies 4 - 4 \le 0 \implies 0 \le 0$. Верно. Значит, $x=0$ является решением системы.

2. $(y - 7)^2 = 0 \implies y = 7$.

Возвращаемся к замене: $2^{x+2} = 7$. Подставим $y=7$ в выражение для $x^2$ из уравнения (1): $x^2 = \frac{4}{49}(7 - 4) = \frac{4}{49} \cdot 3 = \frac{12}{49}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{12}{49}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{7}$. Поскольку мы установили, что $x \ge 0$, то $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$. Для того чтобы это значение $x$ было решением, оно должно удовлетворять обоим условиям: $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $2^{x+2} = 7$. Проверим, верно ли равенство $2^{\frac{2\sqrt{3}}{7}+2} = 7$. Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей: $\frac{2\sqrt{3}}{7} + 2 = \log_2 7$, что эквивалентно $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_2 7 - 2 = \log_2(7/4)$. Сравним значения $\frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $\log_2(7/4)$. Так как $(2\sqrt{3})^2=12$ и $7^2=49$, то $(\frac{2\sqrt{3}}{7})^2 = \frac{12}{49} < \frac{1}{4}$, следовательно $\frac{2\sqrt{3}}{7} < \frac{1}{2}$. С другой стороны, $7/4 = 1.75$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$. Так как $1.75 > \sqrt{2}$, то $\log_2(1.75) > \log_2(\sqrt{2}) = 1/2$. Поскольку $\frac{2\sqrt{3}}{7} < 1/2$ и $\log_2(7/4) > 1/2$, равенство $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_2(7/4)$ не выполняется. Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является $x=0$.

Ответ: $x=0$.

б)

Дана система:

$$ \begin{cases} 3^{x+1} = \frac{49}{3}x^2 + 3 \quad (1) \\ 3^{x+1} - 3 \le x^2(14 - 3^{x+1}) \cdot 3^x \quad (2) \end{cases} $$

Решение этой системы аналогично предыдущей. Выразим $x^2$ из первого уравнения:

$$ 3^{x+1} - 3 = \frac{49}{3}x^2 $$

$$ x^2 = \frac{3}{49}(3^{x+1} - 3) $$

Так как $x^2 \ge 0$, то $\frac{3}{49}(3^{x+1} - 3) \ge 0$, что означает $3^{x+1} - 3 \ge 0$.

Отсюда $3^{x+1} \ge 3^1$, что влечет за собой $x+1 \ge 1$, и, следовательно, $x \ge 0$.

Преобразуем второе неравенство. Сделаем замену $z = 3^{x+1}$. Заметим, что $3^x = \frac{3^{x+1}}{3} = \frac{z}{3}$. Неравенство (2) принимает вид:

$$ z - 3 \le x^2(14 - z) \cdot \frac{z}{3} $$

Подставим в это неравенство выражение для $x^2$: $x^2 = \frac{3}{49}(z - 3)$.

$$ z - 3 \le \frac{3}{49}(z - 3)(14 - z) \cdot \frac{z}{3} $$

$$ z - 3 \le \frac{1}{49}(z - 3)z(14 - z) $$

$$ (z - 3) - \frac{1}{49}(z - 3)z(14 - z) \le 0 $$

$$ (z - 3) \left(1 - \frac{z(14 - z)}{49}\right) \le 0 $$

$$ (z - 3) \left(\frac{49 - 14z + z^2}{49}\right) \le 0 $$

$$ \frac{1}{49}(z - 3)(z - 7)^2 \le 0 $$

Мы знаем, что $z-3 = 3^{x+1}-3 \ge 0$. Также $(z-7)^2 \ge 0$. Неравенство может выполняться только если один из неотрицательных множителей равен нулю.

Следовательно, возможны два случая:

1. $z - 3 = 0 \implies z = 3$.

Возвращаемся к замене: $3^{x+1} = 3 \implies 3^{x+1} = 3^1 \implies x+1 = 1 \implies x = 0$. Проверим, является ли $x=0$ решением исходной системы. Уравнение (1): $3^{0+1} = 3$. $\frac{49}{3}(0)^2 + 3 = 3$. $3=3$. Верно. Неравенство (2): $3^{0+1} - 3 \le 0^2(14 - 3^{0+1}) \cdot 3^0 \implies 3 - 3 \le 0 \implies 0 \le 0$. Верно. Значит, $x=0$ является решением системы.

2. $(z - 7)^2 = 0 \implies z = 7$.

Возвращаемся к замене: $3^{x+1} = 7$. Подставим $z=7$ в выражение для $x^2$: $x^2 = \frac{3}{49}(7 - 3) = \frac{3}{49} \cdot 4 = \frac{12}{49}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{12}{49}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{7}$. Так как $x \ge 0$, то $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$. Для того чтобы это значение $x$ было решением, оно должно удовлетворять обоим условиям: $x = \frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $3^{x+1} = 7$. Проверим, верно ли равенство $3^{\frac{2\sqrt{3}}{7}+1} = 7$. Возьмем логарифм по основанию 3: $\frac{2\sqrt{3}}{7} + 1 = \log_3 7$, что эквивалентно $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_3 7 - 1 = \log_3(7/3)$. Сравним значения $\frac{2\sqrt{3}}{7}$ и $\log_3(7/3)$. Как мы уже показали в пункте а), $\frac{2\sqrt{3}}{7} < 1/2$. С другой стороны, $7/3 \approx 2.333$, а $\sqrt{3} \approx 1.732$. Так как $7/3 > \sqrt{3}$, то $\log_3(7/3) > \log_3(\sqrt{3}) = 1/2$. Поскольку $\frac{2\sqrt{3}}{7} < 1/2$ и $\log_3(7/3) > 1/2$, равенство $\frac{2\sqrt{3}}{7} = \log_3(7/3)$ не выполняется. Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является $x=0$.

Ответ: $x=0$.