Номер 238, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 238, страница 430.

Условие.

238 При каких значениях $c \in \mathbf{R}$ для действительных корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + (4c - c^2 - 1)x + 2c^2 - 1 = 0$ выполняется равенство $x_1 + x_2 = 6$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (4c - c^2 - 1)x + 2c^2 - 1 = 0$. Для выполнения условий задачи необходимо, чтобы одновременно соблюдались два требования: 1. Уравнение должно иметь действительные корни, что означает, что его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). 2. Сумма этих корней $x_1 + x_2$ должна равняться 6.

Начнем со второго требования. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком. В нашем случае: $x_1 + x_2 = -(4c - c^2 - 1) = c^2 - 4c + 1$.

Приравниваем это выражение к 6, как того требует условие: $c^2 - 4c + 1 = 6$ $c^2 - 4c - 5 = 0$ Решаем полученное квадратное уравнение относительно $c$. Его корни можно найти, разложив на множители: $(c-5)(c+1)=0$ Отсюда получаем два потенциальных значения для $c$: $c_1=5$ и $c_2=-1$.

Теперь проверим первое требование: наличие действительных корней. Дискриминант $D$ исходного уравнения должен быть неотрицательным: $D = (4c - c^2 - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2c^2 - 1) \ge 0$. Из второго требования мы уже знаем, что для искомых значений $c$ выражение $(4c - c^2 - 1)$ должно быть равно $-6$. Подставим это в формулу дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4(2c^2 - 1) = 36 - 8c^2 + 4 = 40 - 8c^2$. Условие $D \ge 0$ превращается в неравенство: $40 - 8c^2 \ge 0$ $8c^2 \le 40$ $c^2 \le 5$ Это означает, что $c$ должно находиться в промежутке $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Нам нужно выбрать те значения из $c_1=5$ и $c_2=-1$, которые удовлетворяют условию $c \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$. Поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236$, то значение $c=5$ не входит в этот промежуток. Значение $c=-1$ входит в этот промежуток, так как $-\sqrt{5} \le -1 \le \sqrt{5}$. Следовательно, единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $c = -1$.

Ответ: $c=-1$.