Номер 245, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 245, страница 430.

Условие.

245 Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $8 + 4p(x - 2) = (x - |x|)x$ имеет единственное решение. Найдите все решения при каждом p.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения уравнения $8 + 4p(x-2) = (x-|x|)x$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $x$, так как в уравнении присутствует модуль $|x|$.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$. Уравнение преобразуется к виду:
$8 + 4p(x-2) = (x-x)x$
$8 + 4p(x-2) = 0$
$8 + 4px - 8p = 0$
$4px = 8p - 8$
$px = 2(p-1)$

Проанализируем полученное линейное уравнение относительно $x$:
– Если $p=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$. Это равенство неверно, следовательно, при $p=0$ в данном случае решений нет.
– Если $p \ne 0$, то $x = \frac{2(p-1)}{p} = 2 - \frac{2}{p}$.

Найденный корень должен удовлетворять условию $x \ge 0$. Проверим это:
$2 - \frac{2}{p} \ge 0 \implies 2 \ge \frac{2}{p}$.
– Если $p > 0$, умножаем на $p$: $2p \ge 2 \implies p \ge 1$.
– Если $p < 0$, умножаем на $p$ и меняем знак неравенства: $2p \le 2 \implies p \le 1$. Это условие выполняется для всех $p < 0$.
Таким образом, в случае $x \ge 0$ уравнение имеет одно решение $x_1 = 2 - \frac{2}{p}$ при $p \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль раскрывается как $|x| = -x$. Уравнение преобразуется к виду:
$8 + 4p(x-2) = (x-(-x))x$
$8 + 4px - 8p = 2x^2$
$2x^2 - 4px + 8p - 8 = 0$
$x^2 - 2px + 4p - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант:
$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4p - 4) = 4p^2 - 16p + 16 = 4(p^2 - 4p + 4) = 4(p-2)^2$.
Поскольку $D = (2(p-2))^2 \ge 0$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Корни уравнения: $x = \frac{2p \pm \sqrt{4(p-2)^2}}{2} = \frac{2p \pm 2|p-2|}{2} = p \pm |p-2|$.

Рассмотрим два подслучая в зависимости от знака выражения под модулем:
– Если $p \ge 2$, то $|p-2|=p-2$. Корни: $x = p + (p-2) = 2p-2$ и $x = p - (p-2) = 2$. Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$, так как $x=2 > 0$ и $x=2p-2 \ge 2(2)-2 = 2 > 0$. Значит, при $p \ge 2$ решений в этом случае нет.
– Если $p < 2$, то $|p-2|=-(p-2)=2-p$. Корни: $x = p + (2-p) = 2$ и $x = p - (2-p) = 2p-2$. Корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x < 0$. Для корня $x=2p-2$ проверим условие $x < 0$: $2p-2 < 0 \implies 2p < 2 \implies p < 1$.
Следовательно, при $p < 1$ уравнение имеет одно решение $x_2 = 2p-2$ в области $x < 0$.

Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $8 + 4p(x-2) = (x-|x|)x$ имеет единственное решение.

Объединим результаты анализа для определения количества решений в зависимости от $p$.
– При $p < 0$: есть одно решение $x_1 = 2 - 2/p$ (так как $x_1 > 0$) и одно решение $x_2 = 2p-2$ (так как $x_2 < 0$). Итого два решения.
– При $p = 0$: нет решений для $x \ge 0$, но есть одно решение $x_2 = 2(0)-2 = -2$ для $x < 0$. Итого одно решение.
– При $0 < p < 1$: нет решений для $x \ge 0$ (так как $x_1 = 2 - 2/p < 0$), но есть одно решение $x_2 = 2p-2$ для $x < 0$. Итого одно решение.
– При $p = 1$: есть одно решение $x_1 = 2 - 2/1 = 0$ для $x \ge 0$. Для $x < 0$ решений нет (корень $x_2=0$ не удовлетворяет $x<0$). Итого одно решение.
– При $p > 1$: есть одно решение $x_1 = 2 - 2/p$ для $x \ge 0$ (так как $x_1 > 0$). Для $x < 0$ решений нет (так как $p \not< 1$). Итого одно решение.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение при всех $p \ge 0$.
Ответ: $p \in [0, \infty)$.

Найдите все решения при каждом p.

На основе проведенного анализа, выпишем решения для каждого значения $p$, при котором решение единственно.
– при $p=0$ единственное решение $x=-2$;
– при $p \in (0, 1)$ единственное решение $x=2p-2$;
– при $p=1$ единственное решение $x=0$;
– при $p > 1$ единственное решение $x=2 - \frac{2}{p}$.
Заметим, что при $p=1$ формула для интервала $(0, 1)$ дает $x=2(1)-2=0$. Таким образом, случаи $p \in (0, 1)$ и $p=1$ можно объединить.
Ответ:
при $p=0$, $x=-2$;
при $p \in (0, 1]$, $x=2p-2$;
при $p > 1$, $x=2 - \frac{2}{p}$.