Номер 248, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 248, страница 431.

Условие.

248 $3(2x - a) + 5a\sqrt{2x - a - 2a^2} > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим неравенство $3(2x - a) + 5a\sqrt{2x - a} - 2a^2 > 0$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - a \ge 0 \implies 2x \ge a \implies x \ge \frac{a}{2}$.

2. Замена переменной

Для упрощения неравенства введём замену. Пусть $t = \sqrt{2x - a}$. По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.

Тогда $2x - a = t^2$. Подставим новую переменную в исходное неравенство:

$3t^2 + 5at - 2a^2 > 0$.

3. Решение квадратного неравенства относительно $t$

Мы получили квадратное неравенство относительно $t$. Найдём корни соответствующего уравнения $3t^2 + 5at - 2a^2 = 0$.

Дискриминант $D = (5a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2a^2) = 25a^2 + 24a^2 = 49a^2 = (7a)^2$.

Корни уравнения:

$t = \frac{-5a \pm \sqrt{(7a)^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-5a \pm |7a|}{6}$.

Решение зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a > 0$

При $a > 0$, имеем $|a| = a$. Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-5a + 7a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$

$t_2 = \frac{-5a - 7a}{6} = \frac{-12a}{6} = -2a$

Неравенство $3t^2 + 5at - 2a^2 > 0$ можно записать как $3(t - \frac{a}{3})(t + 2a) > 0$.

Поскольку $a > 0$, то $\frac{a}{3} > 0$ и $-2a < 0$. Ветви параболы $y=3t^2+5at-2a^2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t < -2a$ или $t > \frac{a}{3}$.

Учитывая условие $t \ge 0$, отбрасываем решение $t < -2a$. Остаётся $t > \frac{a}{3}$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2x - a} > \frac{a}{3}$.

Так как при $a > 0$ обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат:

$2x - a > \left(\frac{a}{3}\right)^2 \implies 2x - a > \frac{a^2}{9}$

$2x > a + \frac{a^2}{9} \implies 2x > \frac{a^2 + 9a}{9}$

$x > \frac{a^2 + 9a}{18}$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge \frac{a}{2}$), поскольку при $a>0$ выполняется $a^2 > 0 \implies a^2+9a > 9a \implies \frac{a^2+9a}{18} > \frac{9a}{18} = \frac{a}{2}$.

Случай 2: $a < 0$

При $a < 0$, имеем $|a| = -a$. Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-5a + 7(-a)}{6} = \frac{-12a}{6} = -2a$

$t_2 = \frac{-5a - 7(-a)}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$

Неравенство $3(t + 2a)(t - \frac{a}{3}) > 0$.

Поскольку $a < 0$, то $-2a > 0$ и $\frac{a}{3} < 0$. Решением неравенства является $t < \frac{a}{3}$ или $t > -2a$.

Учитывая условие $t \ge 0$, отбрасываем решение $t < \frac{a}{3}$. Остаётся $t > -2a$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2x - a} > -2a$.

Так как при $a < 0$ обе части неравенства положительны ($-2a > 0$), можно возвести их в квадрат:

$2x - a > (-2a)^2 \implies 2x - a > 4a^2$

$2x > 4a^2 + a$

$x > \frac{4a^2 + a}{2}$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge \frac{a}{2}$), поскольку при $a<0$ выполняется $4a^2 > 0 \implies 4a^2+a > a \implies \frac{4a^2+a}{2} > \frac{a}{2}$.

Случай 3: $a = 0$

При $a = 0$ исходное неравенство принимает вид:

$3(2x) > 0 \implies 6x > 0 \implies x > 0$.

ОДЗ при $a=0$ даёт $x \ge 0$. Таким образом, решение $x > 0$ является верным.

Заметим, что этот результат совпадает с результатом для $a > 0$ при подстановке $a=0$: $x > \frac{0^2 + 9 \cdot 0}{18} \implies x > 0$. Поэтому этот случай можно объединить с первым.

4. Итоговый результат

Объединяем решения для всех случаев:

• При $a \ge 0$, решение: $x > \frac{a^2 + 9a}{18}$.
• При $a < 0$, решение: $x > \frac{4a^2 + a}{2}$.

Ответ: если $a \ge 0$, то $x \in (\frac{a^2 + 9a}{18}, +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (\frac{4a^2 + a}{2}, +\infty)$.