Номер 253, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 253, страница 431.

Условие.

253 $$ \begin{cases} x^3 - (a+3)x^2 + (3a+2)x - 2a \ge 0 \\ x^3 - (a+3)x^2 + 3ax \le 0. \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данной системы неравенств сначала упростим каждое неравенство.

Первое неравенство: $x^3 - (a+3)x^2 + (3a+2)x - 2a \ge 0$

Обозначим левую часть как многочлен $P(x) = x^3 - (a+3)x^2 + (3a+2)x - 2a$. Попробуем найти его корни. Заметим, что коэффициенты многочлена содержат параметр $a$. Попробуем подставить значения $x$, которые могут упростить выражение.
При $x=1$: $1^3 - (a+3)1^2 + (3a+2)1 - 2a = 1 - a - 3 + 3a + 2 - 2a = (1-3+2) + (-a+3a-2a) = 0$.
Следовательно, $x=1$ является корнем многочлена при любом значении $a$.
При $x=2$: $2^3 - (a+3)2^2 + (3a+2)2 - 2a = 8 - 4(a+3) + 2(3a+2) - 2a = 8 - 4a - 12 + 6a + 4 - 2a = (8-12+4) + (-4a+6a-2a) = 0$.
Следовательно, $x=2$ также является корнем многочлена.
Так как мы нашли два корня многочлена третьей степени, мы можем найти и третий корень. По теореме Виета, произведение корней $x_1x_2x_3$ равно свободному члену с противоположным знаком, то есть $-(-2a) = 2a$.
Имеем $1 \cdot 2 \cdot x_3 = 2a$, откуда $x_3 = a$.
Таким образом, корни многочлена $P(x)$ это $1, 2, a$. Неравенство можно переписать в виде:
$(x-1)(x-2)(x-a) \ge 0$.

Второе неравенство: $x^3 - (a+3)x^2 + 3ax \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - (a+3)x + 3a) \le 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - (a+3)x + 3a$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $a+3$, а их произведение равно $3a$. Легко подобрать корни: это $3$ и $a$.
Действительно, $3+a = a+3$ и $3 \cdot a = 3a$.
Таким образом, второе неравенство можно переписать в виде:
$x(x-3)(x-a) \le 0$.

Исходная система неравенств эквивалентна следующей:

$$\begin{cases}(x-1)(x-2)(x-a) \ge 0 \\x(x-3)(x-a) \le 0\end{cases}$$

Решение системы зависит от взаимного расположения корней $0, 1, 2, 3, a$ на числовой оси. Это определяется значением параметра $a$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Случай $a < 0$
Корни первого неравенства в порядке возрастания: $a, 1, 2$. Решение: $x \in [a, 1] \cup [2, \infty)$.
Корни второго неравенства в порядке возрастания: $a, 0, 3$. Решение: $x \in (-\infty, a] \cup [0, 3]$.
Пересечение решений: $([a, 1] \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, a] \cup [0, 3]) = \{a\} \cup [0, 1] \cup [2, 3]$.

2. Случай $a=0$
Система принимает вид:$$\begin{cases}x(x-1)(x-2) \ge 0 \\x^2(x-3) \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства: $x \in [0, 1] \cup [2, \infty)$.
Решение второго неравенства ($x^2 \ge 0$ всегда): $x-3 \le 0$ или $x=0$, т.е. $x \in (-\infty, 3]$.
Пересечение: $([0, 1] \cup [2, \infty)) \cap (-\infty, 3] = [0, 1] \cup [2, 3]$.

3. Случай $0 < a < 1$
Корни первого неравенства: $a, 1, 2$. Решение: $x \in [a, 1] \cup [2, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, a, 3$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [a, 3]$.
Пересечение: $([a, 1] \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [a, 3]) = [a, 1] \cup [2, 3]$.

4. Случай $a=1$
Система принимает вид:$$\begin{cases}(x-1)^2(x-2) \ge 0 \\x(x-1)(x-3) \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства ($ (x-1)^2 \ge 0 $ всегда): $x-2 \ge 0$ или $x=1$, т.е. $x \in \{1\} \cup [2, \infty)$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, 3]$.
Пересечение: $(\{1\} \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [1, 3]) = \{1\} \cup [2, 3]$.

5. Случай $1 < a < 2$
Корни первого неравенства: $1, a, 2$. Решение: $x \in [1, a] \cup [2, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, a, 3$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [a, 3]$.
Пересечение: $([1, a] \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [a, 3]) = \{a\} \cup [2, 3]$.

6. Случай $a=2$
Система принимает вид:$$\begin{cases}(x-1)(x-2)^2 \ge 0 \\x(x-2)(x-3) \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства ($(x-2)^2 \ge 0$ всегда): $x-1 \ge 0$ или $x=2$, т.е. $x \in [1, \infty)$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3]$.
Пересечение: $[1, \infty) \cap ((-\infty, 0] \cup [2, 3]) = [2, 3]$.

7. Случай $2 < a < 3$
Корни первого неравенства: $1, 2, a$. Решение: $x \in [1, 2] \cup [a, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, a, 3$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [a, 3]$.
Пересечение: $([1, 2] \cup [a, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [a, 3]) = [a, 3]$.

8. Случай $a=3$
Система принимает вид:$$\begin{cases}(x-1)(x-2)(x-3) \ge 0 \\x(x-3)^2 \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства: $x \in [1, 2] \cup [3, \infty)$.
Решение второго неравенства ($(x-3)^2 \ge 0$ всегда): $x \le 0$ или $x=3$, т.е. $x \in (-\infty, 0] \cup \{3\}$.
Пересечение: $([1, 2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup \{3\}) = \{3\}$.

9. Случай $a > 3$
Корни первого неравенства: $1, 2, a$. Решение: $x \in [1, 2] \cup [a, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, 3, a$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, a]$.
Пересечение: $([1, 2] \cup [a, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [3, a]) = \{a\}$.

Ответ:
при $a < 0$: $x \in \{a\} \cup [0, 1] \cup [2, 3]$;
при $a = 0$: $x \in [0, 1] \cup [2, 3]$;
при $a \in (0, 1)$: $x \in [a, 1] \cup [2, 3]$;
при $a = 1$: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$;
при $a \in (1, 2)$: $x \in \{a\} \cup [2, 3]$;
при $a = 2$: $x \in [2, 3]$;
при $a \in (2, 3)$: $x \in [a, 3]$;
при $a = 3$: $x = 3$;
при $a > 3$: $x = a$.