Номер 255, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 255, страница 431.

Условие.

255 а) Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел?

б) Сумма двенадцати чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма четвёртых степеней этих чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Пусть даны десять чисел $x_1, x_2, \dots, x_{10}$.

Согласно условию задачи, сумма этих чисел равна нулю. Запишем это математически:

$ \sum_{i=1}^{10} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_{10} = 0 $

Также по условию, сумма их попарных произведений равна нулю:

$ \sum_{1 \le i < j \le 10} x_i x_j = 0 $

Для решения задачи воспользуемся известным алгебраическим тождеством, которое связывает квадрат суммы чисел, сумму их квадратов и сумму их попарных произведений:

$ \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j $

Подставим в это тождество данные из условия для $n=10$:

$ (0)^2 = \sum_{i=1}^{10} x_i^2 + 2 \cdot (0) $

Из этого уравнения следует, что сумма квадратов этих десяти чисел также равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{10} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{10}^2 = 0 $

Если предположить, что данные числа являются действительными (вещественными), то квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x_i^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Таким образом, мы можем заключить, что $x_i^2 = 0$ для всех $i$ от 1 до 10, а это означает, что и сами числа равны нулю: $x_i = 0$ для всех $i$.

Следовательно, все десять чисел равны нулю. Тогда и сумма их кубов будет равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{10} x_i^3 = \sum_{i=1}^{10} 0^3 = 0 $

Ответ: 0

б) Пусть даны двенадцать чисел $x_1, x_2, \dots, x_{12}$.

Условия задачи аналогичны предыдущему пункту:

Сумма чисел равна нулю: $ \sum_{i=1}^{12} x_i = 0 $

Сумма попарных произведений равна нулю: $ \sum_{1 \le i < j \le 12} x_i x_j = 0 $

Применим то же самое тождество для квадрата суммы, что и в пункте а), но теперь для $n=12$:

$ \left(\sum_{i=1}^{12} x_i\right)^2 = \sum_{i=1}^{12} x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le 12} x_i x_j $

Подставим известные значения:

$ (0)^2 = \sum_{i=1}^{12} x_i^2 + 2 \cdot (0) $

Отсюда получаем, что сумма квадратов этих двенадцати чисел равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{12} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{12}^2 = 0 $

Рассуждая аналогично пункту а), если числа действительные, то из равенства суммы их квадратов нулю следует, что каждое из чисел равно нулю: $x_i = 0$ для всех $i$ от 1 до 12.

Соответственно, сумма четвёртых степеней этих чисел также будет равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{12} x_i^4 = \sum_{i=1}^{12} 0^4 = 0 $

Ответ: 0