Номер 258, страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 258, страница 432.

Условие.

258 У торговца имеется два бочонка вина разной цены за литр ёмкостью $m$ л и $n$ л. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Пусть $m$ и $n$ — объемы вина (в литрах) в первом и втором бочонках соответственно, а $c_1$ и $c_2$ — цены за литр вина в каждом из бочонков ($c_1 \neq c_2$). Предполагается, что бочонки изначально полны.

Обозначим через $x$ искомое одинаковое количество вина, которое нужно взять из каждого бочонка и перелить в другой. При этом $x$ не может превышать объемы вина в бочонках, то есть $0 < x \le m$ и $0 < x \le n$.

Рассмотрим состав и цену вина в первом бочонке после переливания. Из него взяли $x$ литров вина по цене $c_1$ и добавили $x$ литров вина по цене $c_2$. Таким образом, в первом бочонке стало $(m-x)$ литров вина по цене $c_1$ и $x$ литров вина по цене $c_2$. Общая стоимость вина в первом бочонке составит $(m-x)c_1 + xc_2$. Общий объем вина в бочонке не изменился и равен $m$ литров. Следовательно, новая цена за литр вина в первом бочонке будет равна: $C_{новая1} = \frac{(m-x)c_1 + xc_2}{m}$

Теперь рассмотрим состав и цену вина во втором бочонке после переливания. Из него взяли $x$ литров вина по цене $c_2$ и добавили $x$ литров вина по цене $c_1$. Во втором бочонке стало $(n-x)$ литров вина по цене $c_2$ и $x$ литров вина по цене $c_1$. Общая стоимость вина во втором бочонке составит $(n-x)c_2 + xc_1$. Общий объем вина в бочонке также не изменился и равен $n$ литров. Новая цена за литр вина во втором бочонке будет равна: $C_{новая2} = \frac{(n-x)c_2 + xc_1}{n}$

По условию задачи, новые цены должны быть равны, то есть $C_{новая1} = C_{новая2}$. Составим уравнение: $\frac{(m-x)c_1 + xc_2}{m} = \frac{(n-x)c_2 + xc_1}{n}$

Решим это уравнение относительно $x$. Для этого умножим обе части на $mn$: $n \cdot ((m-x)c_1 + xc_2) = m \cdot ((n-x)c_2 + xc_1)$

Раскроем скобки: $nmc_1 - nxc_1 + nxc_2 = mnc_2 - mxc_2 + mxc_1$

Сгруппируем все члены, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой: $nxc_2 - nxc_1 + mxc_2 - mxc_1 = mnc_2 - nmc_1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части: $x(nc_2 - nc_1 + mc_2 - mc_1) = mn(c_2 - c_1)$

Сгруппируем слагаемые в скобках по ценам $c_1$ и $c_2$: $x((n+m)c_2 - (n+m)c_1) = mn(c_2 - c_1)$

Вынесем общий множитель $(m+n)$: $x(m+n)(c_2 - c_1) = mn(c_2 - c_1)$

Так как по условию цены на вино разные, $c_1 \neq c_2$, следовательно, $c_2 - c_1 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $(c_2 - c_1)$: $x(m+n) = mn$

Отсюда выражаем $x$: $x = \frac{mn}{m+n}$

Это и есть искомое количество вина. Интересно, что оно не зависит от первоначальных цен, а только от объемов бочонков.
Ответ: $\frac{mn}{m+n}$ литров.