Номер 252, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 252, страница 431.

Условие.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение (252—253):

252 $\begin{cases} ax^2 - 2(a+1)x + a+5 \leq 0 \\ (a+1)x^2 - 2(a+2)x + a+2 \geq 0 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

252

Запишем систему неравенств:$$ \begin{cases} ax^2 - 2(a + 1)x + a + 5 \le 0 & (1) \\ (a + 1)x^2 - 2(a + 2)x + a + 2 \ge 0 & (2) \end{cases} $$Система должна иметь единственное решение.Обозначим левые части неравенств как функции от $x$:$f(x) = ax^2 - 2(a + 1)x + a + 5$$g(x) = (a + 1)x^2 - 2(a + 2)x + a + 2$Система имеет вид:$$ \begin{cases} f(x) \le 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$Рассмотрим особые случаи, когда коэффициенты при $x^2$ обращаются в ноль.

Случай 1: $a = 0$
Система принимает вид:$$ \begin{cases} -2x + 5 \le 0 \\ x^2 - 4x + 2 \ge 0 \end{cases} $$Из первого неравенства: $2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.Второе неравенство: $x^2 - 4x + 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$ равны $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 2-\sqrt{2}] \cup [2+\sqrt{2}, \infty)$.Поскольку $2.5 < 2+\sqrt{2}$ (так как $0.5 < \sqrt{2}$), пересечение решений двух неравенств дает $x \in [2+\sqrt{2}, \infty)$, что является бесконечным множеством решений. Следовательно, $a=0$ не подходит.

Случай 2: $a = -1$
Система принимает вид:$$ \begin{cases} -x^2 + 4 \le 0 \\ -2x + 1 \ge 0 \end{cases} $$Из первого неравенства: $x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.Из второго неравенства: $2x \le 1 \implies x \le 0.5$.Пересечение решений: $x \in (-\infty, -2]$. Это бесконечное множество решений. Следовательно, $a=-1$ не подходит.

Случай 3: $a \ne 0$ и $a \ne -1$
Оба неравенства являются квадратными. Единственное решение возможно в двух основных ситуациях:1) Множество решений одного из неравенств состоит из одной точки, и эта точка удовлетворяет второму неравенству.2) Множества решений неравенств — это промежутки, которые "касаются" друг друга в одной точке. Это происходит, если уравнения $f(x)=0$ и $g(x)=0$ имеют общий корень, и параболы расположены определённым образом.

Подслучай 3.1: Множество решений одного из неравенств — одна точка.

а) Для неравенства $f(x) \le 0$ решение будет единственной точкой, если парабола $y=f(x)$ касается оси абсцисс в своей вершине и ее ветви направлены вверх. Это требует выполнения условий:Коэффициент при $x^2$: $a > 0$.Дискриминант $D_f = 0$.$D_f/4 = (a+1)^2 - a(a+5) = a^2+2a+1 - a^2-5a = 1-3a$.$1-3a = 0 \implies a = 1/3$.Это значение удовлетворяет условию $a > 0$. При $a=1/3$ неравенство $f(x) \le 0$ имеет единственное решение $x = -\frac{-2(a+1)}{2a} = \frac{a+1}{a} = \frac{1/3+1}{1/3} = 4$.Проверим, удовлетворяет ли $x=4$ второму неравенству при $a=1/3$:$g(4) = (1/3+1) \cdot 4^2 - 2(1/3+2) \cdot 4 + 1/3+2 = \frac{4}{3} \cdot 16 - 2 \cdot \frac{7}{3} \cdot 4 + \frac{7}{3} = \frac{64}{3} - \frac{56}{3} + \frac{7}{3} = \frac{15}{3} = 5$.$5 \ge 0$ — верно.Следовательно, при $a=1/3$ система имеет единственное решение $x=4$.

б) Для неравенства $g(x) \ge 0$ решение будет единственной точкой, если парабола $y=g(x)$ касается оси абсцисс в своей вершине и ее ветви направлены вниз.Коэффициент при $x^2$: $a+1 < 0 \implies a < -1$.Дискриминант $D_g = 0$.$D_g/4 = (a+2)^2 - (a+1)(a+2) = (a+2)(a+2 - a - 1) = a+2$.$a+2=0 \implies a=-2$.Это значение удовлетворяет условию $a < -1$. При $a=-2$ неравенство $g(x) \ge 0$ имеет единственное решение $x = \frac{a+2}{a+1} = \frac{-2+2}{-2+1} = 0$.Проверим, удовлетворяет ли $x=0$ первому неравенству при $a=-2$:$f(0) = a \cdot 0^2 - 2(a+1) \cdot 0 + a+5 = a+5 = -2+5 = 3$.$3 \le 0$ — неверно.Следовательно, $a=-2$ не подходит.

Подслучай 3.2: Уравнения $f(x)=0$ и $g(x)=0$ имеют общий корень.

Если $x_0$ — общий корень, то $f(x_0)=0$ и $g(x_0)=0$. Тогда и разность этих выражений равна нулю:$g(x_0) - f(x_0) = 0$.$((a+1)x_0^2 - 2(a+2)x_0 + a+2) - (ax_0^2 - 2(a+1)x_0 + a+5) = 0$$x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$$(x_0-3)(x_0+1) = 0$.Следовательно, общие корни могут быть только $x_0=3$ или $x_0=-1$.

а) Пусть общий корень $x_0 = 3$. Подставим его в $f(x)=0$:$f(3) = a \cdot 3^2 - 2(a+1) \cdot 3 + a+5 = 9a - 6a - 6 + a + 5 = 4a - 1 = 0 \implies a = 1/4$.При $a=1/4$: $a > 0$ и $a+1 > 0$, обе параболы ветвями вверх.$f(x) \le 0$: корни $f(x)=0$ — это $x=3$ и $x = \frac{a+5}{a \cdot 3} = \frac{1/4+5}{1/4 \cdot 3} = \frac{21/4}{3/4} = 7$. Решение: $x \in [3, 7]$.$g(x) \ge 0$: один корень $x=3$. Найдем второй корень из произведения корней $x_1 x_2 = \frac{a+2}{a+1} = \frac{1/4+2}{1/4+1} = \frac{9/4}{5/4} = 9/5 = 1.8$. Корни $1.8$ и $3$. Решение: $x \in (-\infty, 1.8] \cup [3, \infty)$.Пересечение множеств решений $[3, 7]$ и $(-\infty, 1.8] \cup [3, \infty)$ дает $[3, 7]$. Это бесконечное множество. Значит, $a=1/4$ не подходит.

б) Пусть общий корень $x_0 = -1$. Подставим его в $f(x)=0$:$f(-1) = a(-1)^2 - 2(a+1)(-1) + a+5 = a + 2a + 2 + a + 5 = 4a + 7 = 0 \implies a = -7/4$.При $a=-7/4$: $a < 0$ и $a+1 = -3/4 < 0$. Обе параболы ветвями вниз.$f(x) \le 0$: парабола ветвями вниз. Решение находится вне корней. Один корень $x=-1$. Второй корень из произведения $x_1 x_2 = \frac{a+5}{a} = \frac{-7/4+5}{-7/4} = \frac{13/4}{-7/4} = -13/7$. Другой корень $13/7$.Решение $f(x) \le 0$: $x \in (-\infty, -1] \cup [13/7, \infty)$.$g(x) \ge 0$: парабола ветвями вниз. Решение находится между корнями. Один корень $x=-1$. Второй корень из произведения $x_1 x_2 = \frac{a+2}{a+1} = \frac{-7/4+2}{-7/4+1} = \frac{1/4}{-3/4} = -1/3$. Другой корень $1/3$.Решение $g(x) \ge 0$: $x \in [-1, 1/3]$.Найдем пересечение множеств решений:$((-\infty, -1] \cup [13/7, \infty)) \cap [-1, 1/3]$.Пересечение $[-1, 1/3]$ с $(-\infty, -1]$ дает точку $\{-1\}$.Пересечение $[-1, 1/3]$ с $[13/7, \infty)$ пусто, так как $1/3 < 13/7$.Таким образом, система имеет единственное решение $x=-1$. Значит, $a=-7/4$ подходит.

Объединяя все найденные значения, получаем ответ.
Ответ: $a = -7/4, a = 1/3$.