Номер 247, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 247, страница 431.

Условие.

Для каждого значения параметра a решите неравенство (247–248):

247 $|2x + a| \le x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

247

Исходное неравенство $|2x + a| \le x + 2$ равносильно системе, в которой, во-первых, правая часть должна быть неотрицательной (так как модуль всегда неотрицателен), и, во-вторых, подмодульное выражение должно быть заключено между правой частью и ей противоположной.

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ -(x+2) \le 2x+a \le x+2 \end{cases}$

Из первого неравенства системы получаем область допустимых значений для $x$: $x \ge -2$.

Второе двойное неравенство $-(x+2) \le 2x+a \le x+2$ эквивалентно системе из двух линейных неравенств:

$\begin{cases} 2x+a \le x+2 \\ 2x+a \ge -(x+2) \end{cases}$

Решим каждое из них:

1) $2x+a \le x+2 \implies 2x - x \le 2 - a \implies x \le 2-a$.

2) $2x+a \ge -x-2 \implies 2x + x \ge -a - 2 \implies 3x \ge -a-2 \implies x \ge \frac{-a-2}{3}$.

Теперь необходимо найти значения $x$, удовлетворяющие всем трем условиям одновременно:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2-a \\ x \ge \frac{-a-2}{3} \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $x \in [\frac{-a-2}{3}, 2-a]$. Данный отрезок существует (не является пустым множеством) только в том случае, если его левая граница меньше или равна правой:

$\frac{-a-2}{3} \le 2-a$

$-a-2 \le 3(2-a) \implies -a-2 \le 6-3a \implies 2a \le 8 \implies a \le 4$.

Таким образом, если $a > 4$, система не имеет решений.

При $a \le 4$ решение неравенства является пересечением отрезка $[\frac{-a-2}{3}, 2-a]$ и луча $[-2, +\infty)$. Чтобы найти это пересечение, сравним левую границу отрезка, $\frac{-a-2}{3}$, с числом $-2$:

$\frac{-a-2}{3} - (-2) = \frac{-a-2+6}{3} = \frac{4-a}{3}$.

Проанализируем результат в зависимости от параметра $a$:

1. Если $a < 4$.

Тогда $4-a > 0$, и, следовательно, $\frac{4-a}{3} > 0$, что означает $\frac{-a-2}{3} > -2$. В этом случае нижняя граница отрезка $[\frac{-a-2}{3}, 2-a]$ больше, чем $-2$, поэтому весь отрезок входит в область допустимых значений $x \ge -2$. Решением является $x \in [\frac{-a-2}{3}, 2-a]$.

2. Если $a = 4$.

Тогда $4-a = 0$, и, следовательно, $\frac{-a-2}{3} = -2$. Левая и правая границы отрезка решений: Левая: $\frac{-4-2}{3} = -2$. Правая: $2-4 = -2$. Отрезок вырождается в точку: $[-2, -2]$. Решением является единственное значение $x=-2$.

3. Если $a > 4$.

Как было установлено ранее, в этом случае неравенство не имеет решений.

Ответ: при $a \in (-\infty, 4)$ решением является $x \in [\frac{-a-2}{3}, 2-a]$; при $a=4$ решением является $x=-2$; при $a \in (4, +\infty)$ решений нет.