Номер 243, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 243, страница 430.

Условие.

243 При каких значениях параметра $b$ уравнение $|2 \cos x - 4b + 3| = |3 \cos x - b|$ имеет на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ только одно решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение $|2\cos x - 4b + 3| = |3\cos x - b|$ равносильно совокупности двух уравнений, так как равенство модулей $|A|=|B|$ эквивалентно тому, что $A=B$ или $A=-B$.

1) $2\cos x - 4b + 3 = 3\cos x - b$

2) $2\cos x - 4b + 3 = -(3\cos x - b)$

Преобразуем каждое уравнение, выразив $\cos x$:

1) $2\cos x - 3\cos x = 4b - b - 3 \implies -\cos x = 3b - 3 \implies \cos x = 3 - 3b$

2) $2\cos x + 3\cos x = b + 4b - 3 \implies 5\cos x = 5b - 3 \implies \cos x = b - \frac{3}{5}$

Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений параметра $b$, при которых совокупность уравнений

$\left[\begin{array}{l}\cos x = 3 - 3b \\\cos x = b - \frac{3}{5}\end{array}\right.$

имеет ровно одно решение на промежутке $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. На промежутке $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\cos x$ является положительной и принимает значения из промежутка $t \in (0; 1]$.

Проанализируем количество решений уравнения $\cos x = t$ на заданном промежутке в зависимости от значения $t$:

• Если $t=1$, уравнение $\cos x = 1$ имеет одно решение: $x=0$.
• Если $t \in (0; 1)$, уравнение $\cos x = t$ имеет два решения: $x = \arccos t$ и $x = -\arccos t$.
• Если $t \le 0$ или $t > 1$, уравнение $\cos x = t$ не имеет решений на данном промежутке.

Чтобы исходное уравнение имело только одно решение для $x$, необходимо, чтобы совокупность уравнений для $t$:

$\left[\begin{array}{l}t = 3 - 3b \\t = b - \frac{3}{5}\end{array}\right.$

давала ровно одно значение $t=1$ из промежутка $(0; 1]$. Все остальные возможные корни для $t$ должны лежать вне этого промежутка. Обозначим $t_1 = 3 - 3b$ и $t_2 = b - \frac{3}{5}$.

Рассмотрим возможные случаи, при которых это условие выполняется.

Первый случай: $t_1 = 1$ и $t_2 \notin (0, 1]$.

Из $t_1 = 1$ получаем $3 - 3b = 1 \implies 3b = 2 \implies b = \frac{2}{3}$.

Подставим это значение $b$ в выражение для $t_2$:$t_2 = \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10 - 9}{15} = \frac{1}{15}$.

Поскольку $t_2 = \frac{1}{15}$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, условие $t_2 \notin (0, 1]$ не выполняется. В этом случае у нас есть корень $t=1$ (дает одно решение для $x$) и корень $t=\frac{1}{15}$ (дает два решения для $x$). Суммарно 3 решения, что не удовлетворяет условию задачи.

Второй случай: $t_2 = 1$ и $t_1 \notin (0, 1]$.

Из $t_2 = 1$ получаем $b - \frac{3}{5} = 1 \implies b = 1 + \frac{3}{5} \implies b = \frac{8}{5}$.

Подставим это значение $b$ в выражение для $t_1$:$t_1 = 3 - 3 \cdot \frac{8}{5} = 3 - \frac{24}{5} = \frac{15 - 24}{5} = -\frac{9}{5}$.

Значение $t_1 = -\frac{9}{5}$ не принадлежит промежутку $(0; 1]$ (так как $t_1 \le 0$). Это удовлетворяет нашему условию. В этом случае корень $t=1$ дает одно решение для $x$, а корень $t=-\frac{9}{5}$ не дает решений. Итого, одно решение. Следовательно, $b = \frac{8}{5}$ является решением задачи.

Третий случай: $t_1 = t_2$.

Это приводит к уравнению $3 - 3b = b - \frac{3}{5} \implies 4b = 3 + \frac{3}{5} \implies 4b = \frac{18}{5} \implies b = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$.

При $b = \frac{9}{10}$ оба уравнения для $t$ дают одно и то же значение:$t = \frac{9}{10} - \frac{3}{5} = \frac{9 - 6}{10} = \frac{3}{10}$.

Поскольку $t = \frac{3}{10} \in (0; 1)$, уравнение $\cos x = \frac{3}{10}$ имеет два решения на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $b = \frac{8}{5}$.

Ответ: $b = \frac{8}{5}$.