Номер 239, страница 430 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 239, страница 430.

Условие.

239 a) Постройте график квадратного трёхчлена $y = x^2 + 3x + a$, если известно, что его корни связаны соотношением $x_1^2 + x_2^2 = 5$.

б) Постройте график квадратного трёхчлена $y = x^2 - x - a$, если известно, что его корни связаны соотношением $x_1^3 + x_2^3 = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для того чтобы построить график квадратного трёхчлена $y = x^2 + 3x + a$, необходимо сначала найти значение параметра $a$.

Корни трёхчлена $x_1$ и $x_2$ являются решениями уравнения $x^2 + 3x + a = 0$. Согласно теореме Виета для этого уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3$

Произведение корней: $x_1 x_2 = a$

В условии дано соотношение $x_1^2 + x_2^2 = 5$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения в это выражение:

$5 = (-3)^2 - 2a$

$5 = 9 - 2a$

$2a = 9 - 5$

$2a = 4$

$a = 2$

Таким образом, уравнение квадратного трёхчлена имеет вид: $y = x^2 + 3x + 2$.

Для построения графика этой функции (параболы) найдём её ключевые точки.

1. Вершина параболы. Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\\frac{b}{2a_{коэф}} = -\\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Координата $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение: $y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$. Вершина находится в точке $(-1.5; -0.25)$.

2. Точки пересечения с осями координат. С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$. С осью OX (при $y=0$): $x^2 + 3x + 2 = 0$. Решая уравнение (например, разложением на множители $(x+1)(x+2)=0$), находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Точки $(-2; 0)$ и $(-1; 0)$.

3. Дополнительные точки. Парабола симметрична относительно оси $x = -1.5$. Точка, симметричная точке $(0; 2)$ относительно оси симметрии, имеет координаты $(-3; 2)$.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину параболы $(-1.5; -0.25)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$ и симметричную ей точку $(-3; 2)$, после чего соединить их плавной линией.

б)

Рассмотрим квадратный трёхчлен $y = x^2 - x - a$. Сначала найдём значение параметра $a$.

Корни $x_1$ и $x_2$ этого трёхчлена удовлетворяют уравнению $x^2 - x - a = 0$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$

Произведение корней: $x_1 x_2 = -a$

По условию $x_1^3 + x_2^3 = 4$. Используем формулу суммы кубов, выраженную через сумму и произведение корней:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$

Подставим значения из теоремы Виета:

$4 = (1)((1)^2 - 3(-a))$

$4 = 1 + 3a$

$3a = 3$

$a = 1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = x^2 - x - 1$.

Построим график этой параболы, найдя её ключевые точки.

1. Вершина параболы. Координата $x_v = -\\frac{b}{2a_{коэф}} = -\\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. Координата $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 1 = 0.25 - 0.5 - 1 = -1.25$. Вершина находится в точке $(0.5; -1.25)$.

2. Точки пересечения с осями координат. С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$. С осью OX (при $y=0$): $x^2 - x - 1 = 0$. Решаем через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$. Корни $x_{1,2} = \\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Точки пересечения: $(\\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0) \approx (-0.62; 0)$ и $(\\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 0) \approx (1.62; 0)$.

3. Дополнительные точки. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$. Точка, симметричная точке $(0; -1)$, будет иметь координаты $(1; -1)$.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0.5; -1.25)$, точки пересечения с осями $(0; -1)$, $(\\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0)$, $(\\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 0)$ и точку $(1; -1)$, после чего соединить их плавной параболической кривой.