Номер 235, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 235, страница 429.

Условие.

235 Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} \frac{7x}{3} - \frac{11(x+3)}{6} \ge \frac{3x-1}{5} - \frac{13-x}{2} \\ (1-x)^2 \le (x+5)(x-1) \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \sqrt{3 + \frac{15}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{5}{51-3x}} > -2 \\ \sqrt{x^2 - 3x - 10} \le 2x + 4 \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{7x}{3} - \frac{11(x+3)}{6} \ge \frac{3x-1}{5} - \frac{13-x}{2} \\ (1-x)^2 \le (x+5)(x-1) \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{7x}{3} - \frac{11(x+3)}{6} \ge \frac{3x-1}{5} - \frac{13-x}{2} $

Приведем все дроби к общему знаменателю 30, умножив обе части неравенства на 30:

$ 10 \cdot 7x - 5 \cdot 11(x+3) \ge 6(3x-1) - 15(13-x) $

$ 70x - 55x - 165 \ge 18x - 6 - 195 + 15x $

$ 15x - 165 \ge 33x - 201 $

$ 201 - 165 \ge 33x - 15x $

$ 36 \ge 18x $

$ 2 \ge x $, то есть $ x \le 2 $.

Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, 2] $.

2. Решим второе неравенство:

$ (1-x)^2 \le (x+5)(x-1) $

Раскроем скобки. Заметим, что $ (1-x)^2 = (x-1)^2 $:

$ (x-1)^2 \le (x+5)(x-1) $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ (x-1) $:

$ (x-1)^2 - (x+5)(x-1) \le 0 $

$ (x-1)((x-1) - (x+5)) \le 0 $

$ (x-1)(x-1-x-5) \le 0 $

$ (x-1)(-6) \le 0 $

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x-1 \ge 0 $

$ x \ge 1 $

Решение второго неравенства: $ x \in [1, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решением системы является пересечение множеств $ (-\infty, 2] $ и $ [1, \infty) $, что соответствует промежутку $ [1, 2] $.

Ответ: $ [1, 2] $.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \sqrt{3+\frac{15}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{5}{51-3x}} > -2 \\ \sqrt{x^2-3x-10} \le 2x+4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \sqrt{3+\frac{15}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{5}{51-3x}} > -2 $

Упростим подкоренные выражения:

$ 3+\frac{15}{12-x} = \frac{3(12-x)+15}{12-x} = \frac{36-3x+15}{12-x} = \frac{51-3x}{12-x} $

$ \frac{1}{3}-\frac{5}{51-3x} = \frac{1}{3}-\frac{5}{3(17-x)} = \frac{17-x-5}{3(17-x)} = \frac{12-x}{51-3x} $

Неравенство принимает вид:

$ \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{12-x}{51-3x}} > -2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Это равносильно условию $ \frac{51-3x}{12-x} > 0 $, то есть $ \frac{3(17-x)}{12-x} > 0 $. Методом интервалов получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty, 12) \cup (17, \infty) $.

Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}} $. На ОДЗ $ y > 0 $.

Неравенство переписывается как $ y - \frac{8}{y} > -2 $.

Так как $ y>0 $, умножим на $ y $: $ y^2 - 8 > -2y \implies y^2 + 2y - 8 > 0 \implies (y+4)(y-2) > 0 $.

Поскольку $ y>0 $, множитель $ (y+4) $ всегда положителен. Следовательно, $ y-2 > 0 $, откуда $ y > 2 $.

Возвращаемся к исходной переменной:

$ \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}} > 2 $

Возведем в квадрат обе части: $ \frac{51-3x}{12-x} > 4 \implies \frac{51-3x - 4(12-x)}{12-x} > 0 \implies \frac{x+3}{12-x} > 0 $.

Методом интервалов получаем $ x \in (-3, 12) $. Пересекая с ОДЗ, получаем решение первого неравенства: $ x \in (-3, 12) $.

2. Решим второе неравенство:

$ \sqrt{x^2-3x-10} \le 2x+4 $

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2-3x-10 \ge 0 \\ 2x+4 \ge 0 \\ x^2-3x-10 \le (2x+4)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

а) $ x^2-3x-10 \ge 0 \implies (x-5)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty) $.

б) $ 2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2 $.

в) $ x^2-3x-10 \le 4x^2+16x+16 \implies 3x^2+19x+26 \ge 0 $. Корни уравнения $ 3x^2+19x+26=0 $ равны $ x_1 = -13/3 $ и $ x_2 = -2 $. Значит, $ x \in (-\infty, -13/3] \cup [-2, \infty) $.

Найдем пересечение решений трех неравенств. Пересечение решений а) и б) дает $ \{-2\} \cup [5, \infty) $. Пересечение этого множества с решением в) также дает $ \{-2\} \cup [5, \infty) $.

Решение второго неравенства: $ x \in \{-2\} \cup [5, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств системы б):

Нам нужно найти пересечение множеств $ (-3, 12) $ и $ \{-2\} \cup [5, \infty) $.

Число -2 входит в интервал $ (-3, 12) $, поэтому $ x=-2 $ является решением.

Пересечение интервалов $ (-3, 12) $ и $ [5, \infty) $ есть $ [5, 12) $.

Объединяя результаты, получаем решение системы.

Ответ: $ \{-2\} \cup [5, 12) $.