Номер 228, страница 429 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 228, страница 429.

Условие.

228 a) $\begin{cases} 2^{y-3} = 8^{x-2} \\ 2 \log_3 (y - x) - \log_3 x = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^y = 4^{x-3} \\ 2 \log_2 (x - y) - \log_2 y = 1 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^{y-3} = 8^{x-2} \\ 2\log_3(y-x) - \log_3 x = 1 \end{cases}$

1. Преобразуем первое уравнение. Приведем обе части к основанию 2, зная, что $8 = 2^3$:

$2^{y-3} = (2^3)^{x-2}$

$2^{y-3} = 2^{3(x-2)}$

$2^{y-3} = 2^{3x-6}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$y - 3 = 3x - 6$

$y = 3x - 3$

2. Преобразуем второе уравнение. Сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$\begin{cases} y-x > 0 \implies y > x \\ x > 0 \end{cases}$

Используя свойства логарифмов $n\log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$, упростим уравнение:

$2\log_3(y-x) - \log_3 x = 1$

$\log_3((y-x)^2) - \log_3 x = 1$

$\log_3\left(\frac{(y-x)^2}{x}\right) = 1$

По определению логарифма ($ \log_b a = c \iff a=b^c $):

$\frac{(y-x)^2}{x} = 3^1$

$(y-x)^2 = 3x$

3. Решим систему, состоящую из преобразованных уравнений:

$\begin{cases} y = 3x - 3 \\ (y-x)^2 = 3x \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$((3x - 3) - x)^2 = 3x$

$(2x - 3)^2 = 3x$

$4x^2 - 12x + 9 = 3x$

$4x^2 - 15x + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

4. Найдем соответствующие значения $y$ и выполним проверку по ОДЗ.

Для $x_1 = 3$, $y_1 = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6$.

Проверка ОДЗ для пары $(3; 6)$: $x > 0 \implies 3 > 0$ (верно) и $y > x \implies 6 > 3$ (верно). Следовательно, решение $(3; 6)$ подходит.

Для $x_2 = \frac{3}{4}$, $y_2 = 3\left(\frac{3}{4}\right) - 3 = \frac{9}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{3}{4}$.

Проверка ОДЗ для пары $(\frac{3}{4}; -\frac{3}{4})$: $x > 0 \implies \frac{3}{4} > 0$ (верно), но $y > x \implies -\frac{3}{4} > \frac{3}{4}$ (неверно). Следовательно, это решение не является решением исходной системы.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(3; 6)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^y = 4^{x-3} \\ 2\log_2(x-y) - \log_2 y = 1 \end{cases}$

1. Преобразуем первое уравнение, приведя обе части к основанию 2, так как $4 = 2^2$:

$2^y = (2^2)^{x-3}$

$2^y = 2^{2(x-3)}$

$2^y = 2^{2x-6}$

Приравниваем показатели степеней:

$y = 2x - 6$

2. Преобразуем второе уравнение. Определим ОДЗ:

$\begin{cases} x-y > 0 \implies x > y \\ y > 0 \end{cases}$

Применим свойства логарифмов:

$2\log_2(x-y) - \log_2 y = 1$

$\log_2((x-y)^2) - \log_2 y = 1$

$\log_2\left(\frac{(x-y)^2}{y}\right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{(x-y)^2}{y} = 2^1$

$(x-y)^2 = 2y$

3. Решим систему из преобразованных уравнений:

$\begin{cases} y = 2x - 6 \\ (x-y)^2 = 2y \end{cases}$

Подставим $y$ из первого уравнения во второе:

$(x - (2x - 6))^2 = 2(2x - 6)$

$(x - 2x + 6)^2 = 4x - 12$

$(-x + 6)^2 = 4x - 12$

$x^2 - 12x + 36 = 4x - 12$

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 16, а их произведение - 48. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = 12$.

4. Найдем соответствующие значения $y$ и проверим их по ОДЗ.

Для $x_1 = 4$, $y_1 = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$.

Проверка ОДЗ для пары $(4; 2)$: $y > 0 \implies 2 > 0$ (верно) и $x > y \implies 4 > 2$ (верно). Решение $(4; 2)$ подходит.

Для $x_2 = 12$, $y_2 = 2(12) - 6 = 24 - 6 = 18$.

Проверка ОДЗ для пары $(12; 18)$: $y > 0 \implies 18 > 0$ (верно), но $x > y \implies 12 > 18$ (неверно). Это решение не подходит.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(4; 2)$.